Дипломная работа: Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.

Перечень условных обозначений

- принадлежность элемента множеству;

- знак включения множеств;

- знак строгого включения;

и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

- пустое множество;

- множество всех простых чисел;

- некоторое множество простых чисел, т.е. ;

Пусть - группа. Тогда:

- порядок группы ;

- порядок элемента группы ;

- коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

- является подгруппой группы ;

- является собственной подгруппой группы ;

- является максимальной подгруппой группы ;

- является нормальной подгруппой группы ;

- является субнормальной подгруппой группы ;

- является минимальной нормальной подгруппой группы ;

- факторгруппа группы по подгруппе ;

- индекс подгруппы в группе ;

- нормализатор подгруппы в группе ;

Если и - подгруппы группы , то:

- и изоморфны.

Пусть - группа, и , тогда:

- правый смежный класс,

- левый смежный класс;

- совокупность всех нормальных подгрупп группы ;

- группа порядка ;

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.