Дипломная работа: Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
- подгрупповой 
- функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп;
- совокупность всех - подгрупп группы 
;
- тривиальный подгрупповой - функтор;
- единичный подгрупповой - функтор;
- ограничение подгруппового - функтора на класс групп 
;
- пересечение системы подгрупповых - функторов 
;
- решётка всех подгрупповых 
- функторов;
- решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов;
Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т.е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
1. Общие определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата 
во множество . Если 
- бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре 
элементов из соответствует однозначно определенный элемент 
. Бинарную операцию на обозначают одним из символов: 
и т.д. Если, например, вместо 
условимся писать 
, то вместо 
пишем 
.
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если 
для всех 
.
Если 
для всех 
, то операция называется ассоциативной .
Если 
для всех , то операция называется коммутативной .
Элемент 
называется единичным , если 
для всех 
.
Обратным к элементу 
называется такой элемент 
, что 
.
Полугруппой называется непустое множество 
с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. 
для всех 
и 
;
(2) операция ассоциативна, т.е. 
для любых 
.
Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т.е. 
для всех и 
;
(2) операция ассоциативна, т.е. для любых 
;
(3) в существует единичный элемент, т.е. такой элемент 
, что для всех 
;
(4) каждый элемент обладает обратным, т.е. для любого существует такой элемент 
, что .
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой .
Если - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой , а число 
элементов в - порядком группы .
Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям: