Дипломная работа: Исследование динамики ракеты при ее выходе из пусковой шахты при работающем двигателе

2. Построение блочной сетки.

Правильное генерирование сетки расчетной области является одой из наиболее важных задач при моделировании. Разбиение влияет на такие параметры как качество конечного результата, сходимость при решении, скорость расчета.

3. Подготовка модели (задание свойств среды, начальных условий, граничных условий, параметров решателя).

4. Запуск решателя.

Здесь необходимо проверить “сходимость” решения.

5. Просмотр результатов в модуле Post.

Численное решение, производимое в решателе, представлено на рис.3.1.

На первом этапе - дискретизации - дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие непрерывный процесс, а также вспомогательные (граничные и начальные) условия преобразуются в систему дискретных алгебраических уравнений. Чтобы преобразовать исходное уравнение в частных производных (или систему таких уравнений) в систему алгебраических уравнений (или обыкновенных дифференциальных уравнений), можно выбрать один из нескольких вариантов. Способ осуществления дискретизации зависит также от того, рассматриваются ли производные по времени (в применении к задачам с зависимостью от времени), или же уравнения, содержащие только пространственные производные.

На практике дискретизация производных по времени осуществляется почти исключительно с использованием разностных методов [8]. При дискретизации пространственных производных используется, как правило, метод конечных разностей, конечных элементов, конечных объемов [8, 9, 10, 11].

Рисунок 3.1. Структура численного решения

При применении данных методов алгебраические уравнения связывают между собой значения искомых переменных в группе соседних узловых точек (сеточных узлов) [12, 8]. Также подразумевается, что сетка, состоящая из дискретных точек, распределена по всей вычислительной области во времени и в пространстве.

В процессе замены отдельных членов исходных уравнений, представляющих собой частные производные, алгебраическими выражениями, связывающими узловые значения на конечной сетке, вносится некоторая ошибка аппроксимации [9, 8]. Суть ее заключается в том, что при переходе от непрерывных функций к их дискретным аналогам используется разложение в ряды с удержанием определенного числа значимых членов и отбрасыванием малых высокого порядка, а также замене дифференциалов переменных их приращениями.

Система алгебраических уравнений, полученная в результате процесса дискретизации, согласуется с первоначальным дифференциальным уравнением в частных производных, если в пределе, когда размеры ячеек сетки и величина шага по времени стремятся к нулю, система алгебраических уравнений эквивалентна дифференциальному уравнению в частных производных в каждой из узловых точек сетки. Таким образом, величина ошибки аппроксимации характеризует свойство согласованности численного метода дискретизации [8].

Решение алгебраических уравнений, аппроксимирующих заданное дифференциальное уравнение в частных производных, называют сходящимся, если это приближенное решение приближается к точному решению дифференциального уравнения в частных производных для любого значения независимой переменной, по мере того как размеры ячеек сетки и шаг по времени приближаются к нулю. На основании этого определения может быть рассмотрена ошибка решения, которая определяется как разница между точным решением дифференциального алгебраических уравнений и характеризует свойство сходимости [8].

Если учесть, что для большинства задач газовой динамики определяющие уравнения являются нелинейными, процесс построения численного решения обычно ведется посредством итераций (используются методы Ньютона, многосеточные методы, метод сопряженных градиентов). Иначе говоря, решение для каждого искомого переменного в каждой узловой точке последовательно корректируется посредством обращения к дискретизованным уравнениям [9, 14, 8, 10, 15, 13].

В заключение необходимо отметить, что наиболее востребованным численным методам решения уравнений газовой динамики является метод контрольного объема, обладающий значительными преимуществами в сравнении с остальными

Прежде чем приступить к моделированию газодинамической задачи, необходимо уточнить методологию, для выбора оптимальных параметров решателя. Проблема заключается в подборе параметров, таким образом, чтобы добиться наибольшей точности решения при наименьшем времени реализации алгоритма решения на ЭВМ.

· Основные уравнения газовой динамики

Упомянутые выше основные уравнения, являются уравнениями газовой динамики. Газовая динамика – это раздел механики сплошных сред, описывающий движение жидкостей и газов в рамках модели сплошной среды. Последнее означает, что рассматриваются масштабы явлений, значительно превосходящие длину свободного пробега молекул. В рамках данного подхода все физические законы, а также свойства являются общими как для макрообъектов, так и бесконечно малых объемов.

В наиболее общем случае для задачи газовой динамики требуется решить систему из четырех независимых уравнений, которая носит название системы уравнений Навье-Стокса:

1. Уравнение неразрывности (сохранения массы)

.

2. Уравнение количества движения (сохранения импульса)

,

где

- тензор напряжений, записываемый в виде

;

- дельта-функция Кронекера