Дипломная работа: Избранные теоремы геометрии тетраэдра

Достаточность. Пусть точки А₁ , В₁ , С₁ лежат на сторонах ВС, СА, АС треугольника, и выполнено соотношение (3), М - точка пересечения отрезков АА₁ и ВВ₁ , а отрезок СМ пересекает сторону АВ в точке Q. Тогда, по уже доказанному , . Из леммы снова следует совпадение точек Q=C₁ . Достаточность доказана.

Перейдем теперь к пространственному обобщению теоремы Чевы.

Теорема Чевы для тетраэдра.

Пусть М - точка внутри тетраэдра АВСD, а А₁ , В₁ , С₁ и D₁ - точки пересечения плоскостей СМD , AMD, АМВ и СМВ с ребрами АВ, В C , СD и DA соответственно. Тогда (4). Обратно: если для точек , то плоскости АВС , ВСD₁ и DAB₁ проходят через одну точку.

Доказательство.

Необходимость легко получить, если заметить, что точки А₁ , В₁ ,С₁ , D₁ лежат в одной плоскости (эта плоскость проходит через прямые А₁ С₁ и В₁ D₁ , пересекающиеся в точке М ), и применить теорему Менелая. Обратная теорема доказывается так же, так и обратная теореме Менелая в пространстве: нужно провести плоскость через точки А₁ , В₁ , С₁ и доказать с помощью леммы, что эта плоскость пересечет ребро DA в точке D₁ .

§3. Свойства медиан и бимедиан тетраэдра

Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани (точкой пересечения медиан).

Теорема (Применение теоремы Менелая).

Медианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.

Доказательство.

Проведем две медианы: DD ₁ и CC ₁ тетраэдра ABCD . Эти медианы пересекутся в точке F . CL – медиана грани ABC , DL – медиана грани ABD , а D ₁ , C ₁ – центры тяжести грани ABC и ABD . По теореме Менелая: и . Запишем теорему для треугольника DLD ₁ : ; => Доказательство производится аналогично для любой другой пары медиан.

Теорема (Применение теоремы Чевы).

Для начала дадим определения некоторых элементов тетраэдра. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер тетраэдра называется бимедианой. Бивысотами (по аналогии) называют общие перпендикуляры скрещивающихся ребер.

Теорема.

Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.

Доказательство.

В треугольнике LDC отрезки DC и LF пересекутся в точке K . По теореме Чевы для этого треугольника: , т.е. , CK=KD, LK – бимедиана.

Замечание 1.

FL = FK . Теорема Менелая для треугольника DLK : , , отсюда LF = FK .

Замечание 2.

Точка F является центром тяжести тетраэдра. , , значит .

1.2 Различные виды тетраэдров

§1. Пифагоровы тетраэдры

Треугольник называется пифагоровым, если у него один угол прямой, а отношение любых сторон рационально (т.е применяя подобие, можно из него получить прямоугольный треугольник с целыми длинами сторон).

По аналогии с этим, тетраэдр называют пифагоровым, если его плоские углы при одной из вершин прямые, а отношение любых двух ребер рационально (из него с помощью подобия можно получить тетраэдр с прямыми плоскими углами при одной из вершин и целыми длинами ребер).

Попробуем вывести "Уравнение пифагоровых тетраэдров", т.е. такое уравнение с тремя неизвестными ξ, η, ζ, что любой пифагоров тетраэдр дает рациональное решение этого уравнения, и наоборот, любое рациональное решение уравнения дает пифагоров тетраэдр.

Сначала дадим способ описания всех пифагоровых треугольников.

На рисунке треугольник ОАВ - прямоугольный, длины его катетов обозначены через а и b , а дина гипотенузы - через р . Число (1) условимся называть параметром прямоугольного треугольника ОАВ (или точнее, параметром "относительно катета а "). Используя соотношение р² =а² +b² , имеем: