Дипломная работа: Избранные теоремы геометрии тетраэдра

Из этих уравнений непосредственно получим формулы, выражающие отношения сторон прямоугольного треугольника через его параметр:

и(2).

Из формул (1) и (2) непосредственно вытекает следующее утверждение: для того, чтобы прямоугольный треугольник был пифагоровым, необходимо и достаточно, чтобы число ξ было рациональным. В самом деле, если треугольник пифагоров, то из (1) следует, что ξ рационально. Обратно, если ξ рационально, то согласно (2) отношения сторон рациональны, то есть треугольник пифагоров.

Пусть теперь ОАВС - тетраэдр, у которого плоские углы при вершине О прямые. Длины ребер, исходящих из вершины О, обозначим через a,b,с , а длины оставшихся ребер через р, q, r .

Рассмотрим параметры трех прямоугольных треугольников ОАВ, ОВС, ОСА:

(3)

Тогда по формулам (2) можно выразить отношения сторон этих прямоугольных треугольников через их параметры:

(4),

(5).

Из (4) непосредственно вытекает, что параметры ξ, η, ζ , удовлетворяют соотношению (6). Это и есть общее уравнение пифагоровых тетраэдров.

Из формул (3) - (5) непосредственно вытекает следующее утверждение: для того чтобы тетраэдр ОАВС с прямыми плоскими углами при вершине О был пифагоровым, необходимо и достаточно, чтобы параметры ξ, η, ζ (удовлетворяющие уравнению (6)) были рациональными.

Продолжая аналогию пифагорова треугольника с пифагоровым тетраэдром, попробуем сформулировать и доказать пространственное обобщение теоремы Пифагора для прямоугольных тетраэдров, которая, очевидно, будет верна и для пифагоровых тетраэдров. В этом нам поможет следующая лемма.

Лемма 1.

Если площадь многоугольника равна S , то площадь его проекции на плоскость π равна , где φ - угол между плоскостью π и плоскостью многоугольника.

Доказательство.

Утверждение леммы очевидно для треугольника, одна сторона которого параллельна линии пересечения плоскости π с плоскостью многоугольника. В самом деле, длина этой стороны при проекции не изменяется, а длина высоты, опущенной на нее при проекции, изменяется в cosφ раз.

Докажем теперь, что любой многогранник можно разделить на треугольники указанного вида.

Проведем для этого через все вершины многоугольника прямые, параллельные линии пересечения плоскостей, многоугольник разрежется при этом на треугольники и трапеции. Остается разрезать каждую трапецию по любой из ее диагоналей.

Теорема 1 (пространственная теорема Пифагора).

В прямоугольном тетраэдре АВСD , с плоскими углами при вершине D , сумма квадратов площадей трех его прямоугольных граней равна квадрату площади грани АВС .

Доказательство.

Пусть α - угол между плоскостями АВС и DВС, D' - проекция точки D на плоскость АВС . Тогда S_ΔDBC =СоsαS_ΔАBC и S_ΔD'BC = c оsαS_ΔDBC (по лемме 1), поэтому c оsα = . S _{Δ D ' BC} = .

Аналогичные равенства можно получить и для треугольников D'АВ и D'АС . Складывая их и учитывая, что сумма площадей треугольников D'ВС , D'АС и D'АВ равна площади треугольника АВС , получаем требуемое.

Задача.

Пусть все плоские углы при вершине D прямые; a , b , c – длины ребер, выходящих из вершины D на плоскость ABC . Тогда

Доказательство.

По теореме Пифагора для прямоугольного тетраэдра