Дипломная работа: Избранные теоремы геометрии тетраэдра

В заключение пункта об ортоцентрическом тетраэдре решим несколько задач на эту тему.

Задача 2.

Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре выполняется соотношение ОН² =4R² -3d² , где О - центр описанной сферы, H - точка пересечения высот, R - радиус описанной сферы, d- расстояние между серединами противоположных ребер.

Решение.

Пусть К и L - середины ребер АВ и СD соответственно. Точка Н лежитт в плоскости, проходящей через СD перепендикулярно АВ , а точка О - в плоскости, проходящей черех К перпендикулярно АВ.

Эти плоскости симметричны относительно центра масс тетраэдра - середины отрезка KL . Рассматривая такие плоскости для всех ребер, получаем, что точки Н и О симметричны относительно М , а значит КLМО - параллелограмм. Квадраты его сторон равны и , поэтому . Рассматривая сечение, проходящее через точку М параллельно АВ и СD , получаем что АВ² +CD² =4d² .

Здесь можно добавить, что прямую, на которой лежат точки О, М и Н , называют прямой Эйлера ортоцентрического тетраэдра.

Замечание.

Наряду с прямой Эйлера можно отметить существование сфер Эйлера для ортоцентрического тераэдра, о которых и пойдет речь в следующих задачах.

Задача 3.

Доказать, что для ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек). Для решения этой задачи необходимо доказать условие следующей задачи.

Задача 4.

Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков высот от вершин до точки их пересечения лежат на одной окружности - окружности 9 точек (Эйлер).

Доказательство.

Пусть АВС - данный треугольник, Н - точка пересечения его высот, А₁ , В₁ , С₁ - середины отрезков АН, ВН, СН; АА₂ - высоты, А₃ - середина ВС . Будем считать для удобства, что АВС - остроугольный треугольник. Поскольку В₁ А₁ С₁ =ВАС и ΔВ₁ А₂ С₁ =ΔВ₁ НС₁ , то В₁ А₂ С₁ =В₁ НС=180° - В₁ А₁ С₁ , т.е. точки А₁ , В₁ , А₂ , С₁ лежат на одной окружности. Также легко увидеть, что В₁ А₃ С₁ =В₁ НС=180° - В₁ А₁ С₁ , т.е. точки А₁ , В₁ , А₃ , С₁ тоже лежат на одной (а значит на той же) окружности. Отсюда следует, что все 9 точек, о которых говорится в условии, лежат на одной окружности. Случай тупоугольного треугольника АВС рассматривается аналогично.

Заметим, что окружность 9 точек гомотетична описанной окружности с центром в Н и коэффициентом (именно так расположены треугольники АВС и А₁ В₁ С₁ ). С другой стороны, окружность 9 точек гомотетична описанной окружности с центром в точке пересечения медиан треугольника АВС и коэффициентом (именно так расположены треугольники АВС и треугольник с вершинами в серединах его сторон).

Теперь, после определения окружности 9 точек, можно перейти к доказательству условия задачи 3.

Доказательство.

Сечение ортоцентрического тетраэдра любой плоскостью, параллельной противоположным ребрам и проходящей на равном расстоянии от этих ребер, есть прямоугольник, диагонали которого равны расстоянию между серединами противоположных ребер тетраэдра ( все эти расстояния равны между собой, см. необходимое и достаточное условие ортоцентричности (5). Отсюда следует, что середины всех ребер ортоцентрического тетраэдра лежат на поверхности сферы, центр которой совпадает с центром тяжести данного тетраэдра, а диаметр равен расстоянию между серединами противоположных ребер тетраэдра. Значит, все четыре окружности 9 точек лежат на поверхности этой сферы.

Задача 5.

Доказать, что для ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки , делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере ( сфере 12 точек).

Доказательство.

Пусть точки О, М и Н - соответственно центр описанного шара, ценетр тяжести и ортоцентр ортоцентрического тетраэдра; М - середина отрезка ОН (см. задачу 2). Центры тяжести граней тетраэдра служат вершинами тетраэдра, гомотетичного, с центром гомотетиии в точке М и коэффициентом , при этой гомотетии точка О перейдет в точку О₁ , расположенную на отрезке МН так, что , О₁ будет центром сферы проходящей через центры тяжестей граней.

С другой стороны, точки, делящие отрезки высот тетраэдра от вершин до ортоцентра в отношении 2:1, служат вершинами тетраэдра, гомотетичного данному с центром гомотетии в Н и коэффициентом . При этой гомотетии точка О , как легко видеть, перейдет в ту же точку О₁ . Таким образом, восемь из двенадцати точек лежат на поверхности сферы с центром в О₁ и радиусом, втрое меньшим, чем радиус сферы, описанной около тетраэдра.

Докажем, что точки пересечения высот каждой грани лежат на поверхности той же сферы.

Пусть О`, Н` и М` - центр описанной окружности, точка пересечения высот и центр тяжести какой-либо грани. О` и Н` являются проекциями точек О и Н на плоскость этой грани, а отрезок М` делит отрезок О`Н` в отношении 1:2, считая от О` (известный планиметрический факт). Теперь легко убедиться (см. рис), что проекция О<sub>1</sub> на плоскость этой грани - точка О`₁ совпадает с серединой отрезка М`Н` , т.е. О₁ равноудалена от М` и Н` , что и требовалось.

§3. Каркасные тетраэдры