Дипломная работа: Кратные интегралы

6) Объем тела V:

(18)

Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х² и х + у = 2:

посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

(19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

(20)

(21)

где γ (х, y, z) – плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

(22)

9) Координаты центра масс тела:

II . Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1 Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δs_i длиной Δs_i и выберем на каждой из частей точку M_i . Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: .

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы , не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек M_i :

(24)