Дипломная работа: Кратные интегралы

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

(40)

Пример 6.

Найти массу кривой с линейной плотностью заданной в полярных координатах уравнением ρ = 4φ, где

Решение.

Используем формулу (40) с учетом того, что кривая задана в полярных координатах:

3) Моменты кривой l:

- (41)

- статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

- (42)

- момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

- (43)

- моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4) Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

. (44)

5) Работа силы , действующей на точку, движущуюся по кривой (АВ):

, (45)

Пример 7.

Вычислить работу векторного поля вдоль отрезка прямой от точки А(-2;-3;1) до точки В(1;4;2).

Решение.

Найдем канонические и параметрические уравнения прямой АВ:

6) Площадь криволинейной поверхности, уравнение которой

z = f(x, y), можно найти в виде:

(46)

(Ω – проекция S на плоскость Оху).

7) Масса поверхности

(47)