Дипломная работа: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

а < b , a = b или b < a .

Замечание: по определению будем считать, что a < b , если a b и a b .

Определение 1.2. Упорядоченное множество называется линейно упорядоченным , или цепью, если любые его два элемента сравнимы.

Определение 1.3. Элемент а упорядоченного множества Х называется наименьшим (наибольшим) элементом множества АХ, если аА и а х

(х а ) для любого х А.

Определение 1.4. Элемент а упорядоченного множества Х называется минимальным (максимальным) элементом множества АХ, если в А нет элементов, меньших (больших) а, то есть если х а (а х) для некоторого х, то х = а.

Определение 1.5. Пусть А – непустое подмножество линейно упорядоченного множества Х. Элемент а из Х называется верхней (нижней) гранью множества А , если он больше (меньше) любого элемента из А .

Определение 1.6. Если множество А имеет хотя бы одну верхнюю (нижнюю) грань, то А называется ограниченным сверху (ограниченным снизу).

Определение 1.7. Множество А называется ограниченным , если оно ограничено и сверху и снизу.

Определение 1.8. Точной верхней гранью множества А называется наименьший элемент множества всех верхних граней множества А . Обозначается sup A.

Определение 1.9. Точной нижней гранью множества А называется наибольший элемент множества всех нижних граней множества А . Обозначается inf A.

Определение 1.10. Пусть < X, > - линейно упорядоченное множество, содержащее, по крайней мере, два элемента. Для а, b X, a < b положим

(a, b ) = {x X : a < x < b }. Такие множества будем называть интервалами в Х. Множество [a, b ] = { x X : a x b } называется отрезком в Х.

Определение 1.11. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое его непустое подмножество имеет наименьший элемент.

Определение 1.12. Пусть М и М₁ – упорядоченные множества и пусть f – взаимно однозначное отображение М на М₁ . Отображение сохраняет порядок, если из того, что a b ( a , bM ), следует, что f ( a ) f ( b ) (в М₁ ) . Отображение f называется изоморфизмом упорядоченных множеств М и М₁ , если соотношение f ( a ) f ( b ) выполнено в том и только в том случае, если a b . При этом множества М и М₁ называются изоморфными между собой.

§2. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ .

Определение 1.13 . Топологическим пространством называется пара (Х ,), состоящая из множества Х и некоторого семейства подмножеств множества Х , удовлетворяющая следующим условиям:

1) множество Х и Æ принадлежат ;

2) пересечение конечного числа множеств из принадлежат ;

3) объединение любого числа множеств из принадлежит .

Условия 1 – 3 называются аксиомами топологического пространства , его элементы – точками пространства. Подмножества множества Х , принадлежащие семейству , называются открытыми в Х . Семейство открытых подмножеств пространства Х называется также топологией на Х .

Определение 1.14. Замкнутым множеством называется множество, которое является дополнением к открытому.

Определение 1.15. Окрестностью точки х топологического пространства называется любое открытое множество U , содержащее х.

Определение 1.16. Топологическое пространство Х называется компактным , если из любого его покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.

Определение 1.17 . Топологическое пространство Х называется компактным , если любая его центрированная система замкнутых множеств в Х имеет непустое пересечение.

Определения 1.16 и 1.17 равносильны ([5]).

Определение 1.18. Пространство Х называется локально компактным , если каждая точка имеет окрестность, замыкание которой компактно.

Определение 1.19. Топологическое пространство Х называется счётно компактным, если из каждого счётного открытого покрытия пространства Х можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 1.20. Топологическое пространство Х называется счётно компактным , если каждое его бесконечное подмножество содержит хотя бы одну предельную точку.

Определения 1.19 и 1.20 равносильны ([5]).