Дипломная работа: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

Определение 2.2. Если для элемента а А существует элемент а’ =

= inf {x | a < x , x A }, то а’ называется непосредственно следующим за а.

Предложение 1.6. Если А – вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент.

Доказательство .

Возьмём некоторый элемент аА , пусть а не является наибольшим элементом. Рассмотрим множество {x | x A , x > а }. По предложению 1.1 оно имеет наименьший элемент а’ , который является точной нижней гранью рассматриваемого множества. Следовательно, а’ следует за а . ■

§ 2. КОНЕЧНЫЕ ЦЕПИ И ИХ ПОРЯДКОВЫЕ ТИПЫ.

Предложение 2.1. Множество из n элементов можно линейно упорядочить n ! способами.

Доказательство .

Для доказательства достаточно применить формулу числа перестановок для n-элементного множества: Р_n =n! ■

Предложение 2.2. Любое конечное линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным множеством.

Доказательство .

Пусть есть множество А – конечное линейно упорядоченное множество. Надо доказать, что А является вполне упорядоченным, то есть любое его подмножество имеет наименьший элемент. Рассмотрим произвольное множество В , являющееся подмножеством множества А . Предположим, что оно не имеет наименьшего элемента. Возьмём какой-нибудь элемент множества В . Обозначим его через b ₁ . Так как в В нет наименьшего элемента, то в нём есть элемент b ₂ , такой, что b ₂ < b ₁ . Элемент b ₂ не является наименьшим элементом в В , поэтому имеется элемент b ₃ <b ₂ . Повторяя это рассуждение, строим для каждого натурального n элемент b _{n +1} B , причём b _{n +1} < b _n .

Таким образом, получили бесконечное множество {b ₁ , b ₂ , . . . ,b _n , . . }, но это противоречит тому, что В – подмножество конечного множества А и, следовательно, само является конечным. ■

Предложение 2.3. Любые две конечные цепи, состоящие из n элементов, изоморфны.

Доказательство .

пусть есть две конечные цепи из n элементов:

a ₁ < a ₂ <…< a_n ,

b ₁ < b ₂ <…< b_n .

Для каждого а _i положим f (a_i ) = b_i . Очевидно, что отображение f является изоморфизмом. ■

Замечание: бесконечные линейно упорядоченные множества одинаковой мощности могут и не быть изоморфными. Например, множество натуральных чисел и множество целых чисел с естественными порядками. Мощности этих множеств равны, но они не являются изоморфными, так как в N есть наименьший элемент, а в Z наименьшего элемента нет.

Определение 2.3. Порядковым типом линейно упорядоченного множества А называется класс всех линейно упорядоченных множеств, изоморфных множеству А.

Будем считать, что порядковый тип пустого множества есть 0.

Обозначим через n порядковый тип n – элементного множества

N_n = {0, 1, 2,…, n - 1} с порядком 0 < 1 < 2 <…< n-1.

§3.ПОРЯДКОВЫЙ ТИП .

Определение 2.4. Множество натуральных чисел с естественным порядком и все изоморфные ему линейно упорядоченные множества называются множествами порядкового типа .

Предложение 3.1. Бесконечное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: