Дипломная работа: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел

1) компактно;

2) Х – подпространство ;

3) Х плотно в .

Определение 1.22. Топологическое пространство Х называется Т₁ -пространством, если для каждой пары различных точек х₁ , х₂ существует открытое множество , такое, что х₁ и х₂ .

Определение 1.23. Если любые две различные точки х и у топологического пространства Х имеют непересекающиеся окрестности, то пространство Х называется хаусдорфовым пространством или Т₂ -пространством .

Определение 1.24. Топологическое пространство Х называется регулярным пространством , или Т₃ -пространством , если Х есть Т₁ -пространство и для любого и каждого замкнутого множества , такого, что , существуют открытые множества U ₁ и U ₂ , такие, что ₁ , ₂ и U ₁ U ₂ = Æ.

Определение 1.25. Топологическое пространство Х называется тихоновским пространством , или Т₃ -пространством , если Х есть Т₁ -пространство и для любого и любого замкнутого множества , такого, что , существует непрерывная функция f : , такая, что f (x )=0 и f (y )=1 для .

Определение 1.26. Топологическое пространство Х называется нормальным , или Т₄ -пространством , если для каждой пары непересекающихся замкнутых множеств А и В существуют непересекающиеся открытые множества U и V такие, что А U , BV .

ГЛАВА 2. Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел.

§1.ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА И ИХ СВОЙСТВА.

Рассмотрим вполне упорядоченные множества и их свойства.

Предложение 1.1. Всякое подмножество вполне упорядоченного множества само есть вполне упорядоченное множество (очевидно).

Предложение 1.2. Если f – изоморфизм вполне упорядоченного множества А в себя, то для любого элемента хА выполняется неравенство f ( x ) x . (1)

Доказательство .

Будем доказывать методом от противного и предположим, что в А есть элементы х , не удовлетворяющие неравенству (1). Тогда среди этих элементов есть наименьший, так как А является вполне упорядоченным. Обозначим его через х₁ : f (x ₁ )<x ₁ . Обозначим f (x ₁ ) = x ₀ и перепишем неравенство: х₀ <х₁ . Так как f – изоморфизм, то выполняется неравенство: f (x ₀ )<f (x ₁ ) = x ₀ .

Таким образом, получили следующие неравенства: х₀ < x ₁ и f (x ₀ ) < x ₀ . Эти неравенства противоречат определению элемента х₁ , как наименьшего из элементов х множества А , не удовлетворяющих условию f (x ) < x . ■

Определение 2.1 . Начальным отрезком , отсекаемым элементом аА от линейно упорядоченного множества А , называется множество А_а = {x | x A , x < a }.

Предложение 1.3. Пусть А’ – произвольное подмножество вполне упорядоченного множества А. Тогда множество А не изоморфно никакому отрезку множества А’.

Доказательство :

Будем доказывать методом от противного и предположим, что существует изоморфизм вполне упорядоченного множества А в некоторый отрезок А_х ’ подмножества ??А . Тогда f (x ) A_x ’ . Следовательно, f (x) < x – противоречие с предложением 1.2. ■

Следствие 1.4. Два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть изоморфны между собою.

Доказательство .

Пусть А_х и А_у – два различных отрезка вполне упорядоченного множества А . Так как А_х и А_у различны, а множество А – вполне упорядочено, то х и у сравнимы, при этом х у . Пусть для определённости x < y . Тогда А_х – отрезок множества А_у и по предложению 1.3 А_х и А_у не могут быть изоморфными. ■

Предложение 1.5. Существует не более одного изоморфизма одного вполне упорядоченного множества на другое.

Доказательство .

Будем доказывать методом от противного и предположим, что f и g – два различных изоморфизма вполне упорядоченного множества А на вполне упорядоченное множество В . Так как f и g различны, то существует аА : b = f (a ) b ’ = g (a ). Пусть для определённости b < b ’. При всяком изоморфизме f множества А на множество В отрезок А_х А переходит в отрезок В_у В , где у = f (х ). Поэтому отрезок А_а А подобен отрезкам