Дипломная работа: Линейно упорядоченное пространство ординальных чисел
Доказательство .
Пусть даны два ординальных числа 
и 
. Из определения 2.6 и предложения 1.4 следует, что и могут удовлетворять не более, чем одному из трёх отношений: 
= , < , > .
Обозначим через D множество W () 
W (). Это множество является вполне упорядоченным. Обозначим его порядковый тип через 
. Докажем неравенства 
, 
. Достаточно доказать одно из них. Докажем, например, первое. Имеем D 
W (). Если D = W (), то есть порядковый тип множества W (), то есть 
= . Пусть D 
W (). Разбиение W () = D 
(W()\D ) есть сечение во вполне упорядоченном множестве W (). В самом деле, пусть х 
D , у 
W ()\D . Так как W () линейно упорядочено, то либо х < y , либо у < х . Покажем, что второй случай невозможен. Действительно, так как х W (
), х W (), то одновременно х < 
и х < . Если бы было у < х , то было бы у < , у < , то есть у D . Итак, доказано, что х < у для любых х D , у W ()\D , а это и означает, что (D , W ()\D ) есть сечение в W (). Пусть 
< есть первый элемент в W ()\D . Тогда отрезок, отсекаемый в W () элементом , совпадает с D , то есть 
есть порядковый тип множества D , = и < .
Аналогично доказывается, что .
Однако, неравенства < и < не могут быть выполнены одновременно, так как в этом случае мы имели бы 
D , так что было бы типом отрезка множества D и не могло бы быть типом всего D .
Таким образом, имеются лишь следующие возможности:
1) = , = 
и, значит, = ;
2) = , = и, значит, < ;
3) < , = и, значит, < . ■
Теорема 4.3. Любое множество А, состоящее из ординальных чисел, вполне упорядочено.
Доказательство .
Линейная упорядоченность множества А следует из теоремы 4.2. Остаётся доказать, что любое непустое множество A ’ А имеет наименьший элемент.
Возьмём какой-нибудь элемент а’ 
A ’ . Если а’ – наименьший из чисел
х ?? , то всё доказано. Если же нет, то пересечение W (a ’ ) A ’ непусто и, будучи подмножеством вполне упорядоченного множества W (a ’ ), содержит первый элемент а . Ординальное число а и является наименьшим элементом в A ’ . ■
Определение 2.8. Пусть имеются два упорядоченных множества А и В , не имеющие общих элементов. Рассмотрим множество А В , состоящее из всех элементов а
А и b B . Превратим множество А В в упорядоченное множество А+В , введя в него порядок таким образом: если а< a ’ в A или b < b ’ в В , то те же отношения сохраняются в А+В ; если же аА , b В , то положим a < b в А+В . Упорядоченное таким образом множество А+В называется порядковой суммой упорядоченных множеств А и В. Если и есть порядковые типы множеств А и В , то порядковый тип множества А+В называется суммой + порядковых типов