Дипломная работа: Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе
k=-1-центральной симметрией.
Формулы гомотетии с центром в начале координат:
,
Если центр гомотетии имеет координаты S(x0 , y0 ), то формулы гомотетии с центром S имеют вид:
,
Если введем обозначения ,
то получим формулы
,
Основное свойство гомотетии.
Для любых точек М, N и их образов ,
имеет место равенство:
.
Доказательство. Воспользуемся равенствами:
,
,
,
и найдём
.
Следствия.
1) Гомотетия с коэффициентом является преобразованием подобия с коэффициентом подобия
, так как из основного свойства следует
или
.
2) , если k>0, и
, если k<0.
3) Гомотетия плоскости обладает всеми свойствами преобразования подобия, в частности: прямую отображает в прямую, параллельные прямые - в параллельные прямые, Изменяет все расстояния в одном и том же отношении, сохраняет углы.
Характерные свойства гомотетии.
Гомотетия плоскости имеет одну неподвижную точку – центр гомотетии.
Гомотетия плоскости отображает прямую, проходящую через центр гомотетии, в себя.
Гомотетия плоскости (
) отображает прямую, в параллельную ей прямую, так не проходящую через центр гомотетии.
Гомотетия плоскости отображает окружность, центр которой совпадает с центром гомотетии, в концентрическую окружность. При этом радиусы окружностей связаны соотношением
.
Всякие две неравные окружности гомотетичны друг другу, при этом, если окружности не являются концентрическими, существуют две гомотетии, отображающие одну из них в другую.
Гомотетия плоскости является преобразованием подобия первого рода.
Теорема. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k можно представить как композицию гомотетии и движения.
1.5 Группа преобразований подобия и её подгруппы
Теорема 1. Множество всех преобразований подобия плоскости есть группа преобразований, называемая группой подобий.