Дипломная работа: Методические особенности изучения темы "Подобные треугольники" в средней общеобразовательной школе

В рассмотренных учебниках понятие преобразование подобия и его свойства чаще всего не изучается, только в учебниках Атанасяна Л.С., тема, изучается индуктивно и рассмотрению подобных треугольников не предшествует. Данные понятия прилагаются в рамках других тем изучаемых позже.

Например, в учебнике Александрова А.Д. предлагаются следующие определения преобразования подобия: «Подобием называется преобразование, при котором расстояния изменяются в одном и том же отношении, т.е. умножается на одно и тоже число, называемое коэффициентом подобия», «Подобием фигуры с коэффициентом k>0 называется такое её преобразование, при котором любым двум точкам X и Y фигуры сопоставляются такие точки X΄ и Y΄, что X΄Y΄=k*XY». Рассмотренные определения вместе составляют аналогичное определение в учебнике Погорелова «Преобразование фигуры F в фигуру F΄, называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Произвольные точки X и Y фигуры F при отображении подобия переходят в точки X΄ ,Y΄ фигуры F΄, то X΄Y΄=k*XY, причём число k одно и тоже для всех точек X и Y, число k называется коэффициентом подобия».

В учебных пособиях рассмотренных выше определения преобразования подобия не выделяются и не привлекают внимание учащихся.

Совершенно иначе вводится определение преобразования подобия в учебном пособии Бевза Г.П., «Геометрическое преобразование, отображающее фигуру на подобную ей фигуру», автор опирается на определение подобных фигур. Совершенно разные свойства преобразования подобия выделяет каждый автор, только два свойства общее для всех «Подобие сохраняет величину угла и отрезок переводит в отрезок».

В учебнике Александрова А.Д. дополнительно приводятся:

1⁰ Подобие переводит треугольник в треугольник. Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны

2⁰ В результате подобия с коэффициентом k площадь многоугольной фигуры умножается на k²

В учебном пособии Погорелова свойства рассмотрены в виде утверждения: «Преобразование подобия сохраняет простое отношение трёх точек; переводит прямые в прямые; полупрямые в полупрямые».

Гомотетия и её свойства.

При введении понятия гомотетии и её свойства так же существуют различия.

Гомотетия в учебнике Александрова А.Д. определяется с использованием вектора: «гомотетия с центром О и коэффициентом k (отличным от нуля) – это преобразование, при котором каждой точке Xсопоставляется такая точка X΄, что =k».

Понятие гомотетии вводиться конструктивно в учебнике Погорелова: «Пусть F-данная фигура и O-фиксированная точка. Проведём через произвольную точку X фигуры F луч OX и отложим на нём отрезок OX΄, равный , где k - положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая её точка X переходит в X΄, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F΄ называются гомотетичными».

Аналогично вводиться гомотетия в учебнике Бевза Г.П.

Такие общие свойства гомотетии как:

1⁰ Гомотетия сохраняет величину угла.

2⁰ Гомотетия отрезок переводит в отрезок

рассматриваются в учебных пособиях Александрова А.Д., Бевза Г.П., Атанасяна Л.С., но есть и дополнительные, например автор Александров А.Д., дополняет рассмотренные выше свойства следующими:

3⁰ Основное свойство гомотетии: при гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k.

4⁰ Гомотетия треугольник переводит в треугольник, стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.

Автор Бевз Г.П. дополняет следующие свойства, которые явно не выделяются в учебнике:

3⁰ При гомотетии прямая переходит в прямую, луч в луч.

4⁰ Гомотетия изменяет размер фигуры, не изменяет её формы.

В учебнике Погорелова А.В. свойства гомотетии не рассматриваются, только есть небольшое замечание о том, что гомотетия и подобие обладают аналогичными свойствами.

Определение подобных фигур, свойства подобных фигур.

Определение подобных фигур в учебнике Погорелова А.В. не выделено курсивом и сливается с текстом, таким образом, не привлекает внимания учащихся. «Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия». Далее вводиться обозначение подобных фигур.

Практически аналогично, очень наглядно и подробно вводиться определение подобных фигур в учебном пособии Александрова А.Д. «Фигура F΄ называется подобной фигуре F с коэффициентом k, если существует подобие с коэффициентом k, переводящее F в F΄». Далее делается вывод, что подобные фигуры имеют одинаковую форму, но различные размеры, что очень важно для учащихся при понимании темы.

С помощью композиции гомотетии и движения вводиться определение подобия фигур в учебнике Бевза Г.П.. «Две фигуры называются подобными, если с помощью композиции гомотетии и движения одну из них можно отобразить на другую».

Следует заметить, что в учебном пособии Атанасяна Л.С. подобные фигуры изучаются после темы подобные треугольники. По нашей теме есть небольшое упоминание о том, что «в геометрии фигуры одинаковой формы называются подобными» и приводиться пару примеров.

Аналогично вводиться определение подобных фигур в учебнике Шарыгина И.Ф.. Автор делает ссылки на начало главы «Подобие» где приводиться много примеров подобных фигур.