Если и - преобразования подобия с коэффициентами и , то - преобразования подобия с коэффициентом . Действительно является преобразованием плоскости. Докажем, что для любых двух точек M и N и их образов , Выполняется равенство . Обозначим и , тогда , . По основному свойству преобразования подобия , . Поэтому и композиция является преобразованием подобия.

Пусть – преобразование подобия плоскости. Так как изменяет всё расстояние в отношение , то обратное к нему преобразование изменяет все расстояния в отношении .

Следовательно, - преобразование подобия с коэффициентом .

Оба условия и выполняются. Следовательно, множество всех преобразований подобия является подгруппой группы всех преобразований плоскости, а, значит, и группой.

Определение. Множество всех подобных между собой фигур называется формой.

Теорема 3. Подгруппами группы подобий плоскости являются:

1) Группа преобразований подобия первого рода;

2) Группа движений и все её подгруппы;

3) Группа гомотетий и параллельных переносов;

4) Группа гомотетий с одним и тем же центром.

1.6 Метод подобия

Метод подобия оказывается удобным при доказательстве теорем или при решении задач. Этим методом решаются задачи, в которых заданы углы, отношения отрезков и лишь только одно данное условие связано с линейными размерами искомой фигуры. Фигуры, удовлетворяющей всем условиям задачи, кроме того, которое связано с размерами искомой фигуры, подобны между собой. Построив одну из них, а затем, подобрав соответствующим образом, коэффициент подобия, построим искомую фигуру.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, каждая медиана делиться этой точкой в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).

Задача. Построить треугольник АВС, если даны: , отношение сторон АВ:ВС =m:n (m, n-данные отрезки) и медиана к стороне АС.[21]

Глава 2. Методика изучения темы «Подобные треугольники» в школьном курсе геометрии

§1.Сравнительный анализ темы «Подобные треугольники» в различных учебниках по геометрии

В данной главе предлагается сравнительный анализ темы по следующим учебникам:

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9;

2. Погорелов А.В. Геометрия 7-11;

3. Александров А.Д. Геометрия 7-9;

4. Бевз Г.П. Геометрия 7-11;

5. Шарыгин И.Ф. Геометрия 7-9.

Рассматриваемые учебные пособия, такие как Атанасяна Л.С. Погорелова А.В. чаще всего используются в школе, учебник Александрова А.Д. интересен тем, что используется в классах с углубленным изучением математики, учебник Шарыгина И.Ф. –это новый учебник, который ставиться в противовес учебнику Бевза Г.П. немного устаревшему и практически не применяющемуся на практике.

Материал структурируется по следующему плану, в который включаются основные вопросы анализа:

1. Понятие преобразование подобия и его свойства;

2. Гомотетия и её свойства;

3. Определение подобных фигур, свойства подобных фигур;

4. Определение подобных треугольников;

5. Признаки подобия треугольников;

6. Метод подобия;

7. Система задач по данной теме;