Дипломная работа: Методика преподавания темы "Элементы логики" в курсе математики 5-6 классов

Гипотеза: использование предложенных в данной работе рекомендаций усиливает подготовку по теме; способствует развитию различных форм мыслительной деятельности, общих интеллектуальных умений и творческих способностей учащихся; ориентирует их на самостоятельную работу в практической деятельности, как на уроках, так и на факультативных занятиях.

Исторический очерк.

Термин «логика» происходит от греческого слова логос, что означает «мысль», «разум», «слово», «понятие».

Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он впервые разработал теорию дедукции, то есть теорию логического вывода. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.

Уже тогда в Древней Греции были созданы школы, в которых люди учились дискутировать. Ученики этих школ учились искусству поиска истины и убеждения других людей в своей правоте. Они учились из множества фактов отбирать нужные, строить цепочки рассуждений, связывающие отдельные факты между собой, делать правильные выводы.

Уже с этих времен было принято считать, что логика есть наука о мышлении, а не о предметах объективной истинности.

Древнегреческий математик Евклид (330-275 гг. до н. э.) впервые предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени обширные сведения по геометрии. Он положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики – как совокупности аксиоматических теорий.

На протяжении многих веков различными философами и целыми философскими школами дополнялось, усовершенствовалась и изменялась логика Аристотеля. Это был первый, доматематический, этап развития формальной логики. Второй этап связан с применением в логике математических методов, начало которому положил немецкий философ и математик Г. В. Лейбниц (1646-1716 гг.). Он пытался построить универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями».

Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг.) «Математический анализ логики» (1847) и «Исследования законов мышления» (1854). Он применил к логике методы современной ему алгебры – язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра – алгебра логики. В этот период она оформилась, как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806-1871 гг.), английского – У. Джевонса (1835-1882 гг.), американского – Ч. Пирса и др. Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии формальной логики.

Значительный толчок к новому периоду развития математической логики дало создание в первой половине XIX века великим русским математиком Н. И. Лобачевским (1792-1856 гг.) и независимо от него венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860 гг.) неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. Довершали картину парадоксы, обнаруженные в конце XIX века в теории множеств: они отчетливо показали, что трудности обоснования математики являются трудностями логического и методологического характера. Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые перед логикой Аристотеля не возникали. В развитии математической логики сформировались три направления обоснования математики, в которых создатели по-разному пытались преодолеть возникшие трудности.

Основоположником первого направления явился немецкий математик и логик Г. Фреге (1848-1925 гг.). Он стремился всю математику обосновать через логику, применил аппарат математической логики для обоснования арифметики, построив первую формальную логическую систему. Кроме того, им и независимо от него Ч. Пирсом были введены в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, что дало возможность применить этот язык к вопросам оснований математики. Задачу аксиоматического построения арифметики, геометрии и математического анализа ставил перед собой итальянский математик Дж. Пеано (1858-1932 гг.)

Немецкий математик Д. Гильберт (1862-1943 гг.) предложил другой путь преодоления трудностей в основаниях математики, путь, имеющий в своей основе применение аксиоматического метода. Открытие австрийским логиком К. Геделем (1906-1978 гг.) в 1930-1931 годах неполноты формализованной арифметики показало ограниченность гильбертовской программы обоснования математики. Тем не менее, работы Гильберта и его последователей привели к глубокой разработке аксиоматического метода и окончательному осознанию его фундаментальной роли в математике.

Представители направления, основанного голландским математиком Л. Брауэром (1881-1966 гг.) в начале XX века, предложили отказаться от рассмотрения бесконечных множеств как завершенных совокупностей, а также от логического закона исключенного третьего. Ими признавались только такие математические доказательства, которые конструктивно строили тот или иной объект, и оспаривались чистые доказательства существования. Они построили специфическую математику, имеющую специфические особенности, еще раз подчеркнули различие между конструктивным и неконструктивным в математике.

XX век стал веком бурного развития математической логики, формирования многочисленных новых ее разделов. Были построены различные математические теории множеств, выработано несколько формализаций понятия алгоритма, а сама теория алгоритмов была настолько развита, что ее методы стали проникать в другие разделы математической логики, а также в другие математические дисциплины. Так, на стыке математической логики и алгебры возникла теория моделей. Были созданы многочисленные новые неклассические логические системы. Немалый вклад в развитие математической логики внесли и советские математики Н. А. Васильев, И. И. Жегалкин, А. Н. Колмогоров, П. С. Новиков, А. А. Марков, А. И. Мальцев, С. А. Яновская. Кроме того, в XX веке началось глубокое проникновение идей и методов математической логики в технику, кибернетику, вычислительную математику, структурную лингвистику.

Анализ учебной литературы.

В процессе обучения школьников математике большую роль играет учитель, но немаловажное значение имеет и учебник или то учебное пособие, с которым ученик имеет возможность самостоятельно поработать, либо повторить пройденное.

В настоящее время не все учебники содержат материал, который познакомил бы учеников с элементами логики в полной мере. В ныне существующих учебниках рассматриваются вопросы, связанные с высказываниями и их равносильными преобразованиями. В основном, это одно или двуместные высказывания. Здесь изучаются уравнения, тождества, тождественно равные выражения, неравенства, системы уравнений и неравенств, а также их свойства. Этот материал дается с целью использования его при решении текстовых задач. Проанализируем некоторые из учебников.

1) Дорофеев, Г. В. Математика. 5 класс. В двух частях. Л. Г. Петерсон// М.: «Баласс», «С-инфо», 1998.

Учебник [5] состоит из двух частей, каждая из которых поделена на главы.

В первых двух параграфах первой главы автор предлагает изучить математические выражения и математические модели. Здесь ребята смогут научиться записывать, читать, составлять выражения и находить их значения, что несомненно поможет в изучении последующих тем, а именно в переводе условия задачи на математический язык, в работе с математическими моделями.

Но больше интересует пункт – «Язык и логика».

Здесь автор предлагает изучить следующие темы:

1. Высказывания.

2. Общие утверждения.

3. «Хотя бы один».

4. О доказательстве общих утверждений.

5. Введение обозначений.

В этом параграфе рассматривается понятие высказывания или утверждения и связанные с ним простейшие понятия. При этом автор отмечает, что вместо слов «верное» и «неверное» часто говорят истинное и ложное . Автор также дает понятие темы (то, о чем говорится) и ремы (то, что сообщается). Во втором пункте автор знакомит ребят с общими утверждениями. Определяются утверждения, в которых все элементы некоторого множества обладают данным свойством, то есть общие утверждения, и утверждения, в которых хотя бы один элемент в заданном множестве обладает определённым свойством, то есть утверждения о существовании. В четвертом пункте автор рассказывает о доказательстве общих утверждений методом перебора, который был уже изучен ранее. Но метод перебора не может быть применен для бесконечных множеств. В связи с этим в следующем пункте автор вводит обозначения, то есть предлагает использовать математический язык.

Материал рассмотренного параграфа применяется в темах, которые автор рассматривает далее. Например, автор рассматривает делимость натуральных чисел. Уже с самого начала, когда он знакомит ребят с основными понятиями, говорится об истинности утверждения: число 27 делится на 3.

В номере 377 нужно из букв, соответствующих истинным высказываниям, составить математический термин.

Во многих заданиях применяется нестандартная формулировка. Например, в 400 номере нужно проверить истинность высказывания: