Дипломная работа: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Во втором пункте на примерах показана техника решения неравенств с помощью переходов, сохраняющих равносильность. Отметим, что на ряду со стандартными неравенствами рассматривается решение только одного простейшего иррационального неравенства.

В конце главы помещены задания для решения иррациональных уравнений №17, для решения иррациональных неравенств – №21, в котором есть задание со звездочкой, то есть относящееся к разделу «трудные задачи».

Иррациональным уравнениям и неравенствам в главе уделено недостаточно внимания: приведены решения с помощью переходов, сохраняющих равносильность одного простейшего иррационального уравнения и одного неравенства.

Цель данной главы – обобщить имеющиеся у учащихся знаний об уравнениях, неравенствах и системах уравнений, поэтому здесь подробно не рассматриваются конкретные виды уравнений, а лишь повторяются сведения об изученных видах уравнений и методах их решения. [14]

1.5. «Алгебра и начала анализа, 10-11», авт. А. Г. Мордкович [10], [11].

Данное учебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника.

В I части данного учебного пособия материал, касающийся иррациональных уравнений и неравенств, изучается в последней VIII главе «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств», завершающей изучение школьного курса алгебры и начал математического анализа. Здесь уравнения и неравенства рассматриваются с самых общих позиций. Это, с одной стороны, своеобразное подведение итогов и, с другой стороны, некоторое расширение и углубление знаний.

В первых трех параграфах этой главы подведены итоги изучения в школе уравнений, неравенств. Использованы следующие термины :

¨ равносильность уравнений, равносильность неравенств;

¨ следствие уравнения, следствие неравенства;

¨ равносильное преобразование уравнения, неравенства;

¨ посторонние корни (для уравнений);

¨ проверка корней (для уравнений).

Сформулированы теоремы :

¨ о равносильности уравнений;

¨ о равносильности неравенств.

Даны ответы на четыре главных вопроса , связанных с решением уравнений:

1) как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;

2) какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие;

3) как сделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях;

4) в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Перечислены возможные причины расширения области определения уравнения, одна из которых – освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени; указаны причины, по которым может произойти потеря корней при решении уравнений.

Выделены четыре общих метода решения уравнений:

1) замена уравнения h (f (x ))=h (g (x )) уравнением f (x )=g (x );

2) метод разложения на множители;

3) метод введения новых переменных;

4) функционально-графический метод.

Что касается иррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделено достаточно большое внимание.

На примере иррационального уравнения показано как решение любого уравнения осуществляется в три этапа: технический , анализ решения, проверка.