Дипломная работа: Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Например, если , то – корень уравнения , но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция не определена при .

Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений и , а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции и . В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5). Справедливо более общее утверждение: если функция определена при всех x таких, что , а функция определена при всех x таких, что , то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18]

2.1.2. Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Все преобразования уравнений можно разделить на два типа: [15]

1) Равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному.

2) Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней.

Рассмотрим некоторые виды преобразований уравнений и проанализируем, к каким типам они относятся.

1. Перенос членов уравнения из одной части в другую , то есть переход от уравнения

(1)

к уравнению

. (2)

Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1)(2).

В частности, . Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]

2. Приведение подобных членов , то есть переход от уравнения

(3)

к уравнению

. (4)

Справедливо следующее утверждение: для любых функций ,, уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3)(4).

Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней невозможна, но могут появиться посторонние корни.

Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения. [18]

Например, если в уравнении

вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое , то получится уравнение

,

являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни , , а первое – единственный корень .

Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны.

3. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию , то есть переход от уравнения (4) к уравнению

. (5)

Справедливы следующие утверждения:

1) если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций и , ?