Коммуникации и связь / Дипломная работа: Моделі відкритої мережі

Дипломная работа: Моделі відкритої мережі

Стан мережі описується випадковим процесом

де - число заявок в -ом вузлі в момент . Покажемо, що - марковський процес. Стан для визначається:

числом заявок у вузлах у момент ;

моментами надходжень заявок у кожний вузол після моменту ;

моментами відходу заявок з кожного вузла після моменту .

Лема 1.1 (про “відсутність пам'яті” у показового розподілу) .

Якщо має показовий розподіл з параметром , то при будь-яких і

Доказ. По визначенню умовної ймовірності

Моменти зовнішніх надходжень у перший вузол після моменту не залежать від передісторії мережі до моменту , тому що потік ззовні на перший вузол; моменти надходжень заявок з вузлів на даний вузол після моменту в силу "відсутності пам'яті" у показового розподілу часу обслуговування заявок у вузлах (див. лему 1.1) . Аналогічно доводиться, що моменти відходів заявок з вузлів після моменту не залежать від передісторії до моменту . Таким чином, закон розподілу для визначається розподілом . Виходить, - марковський процес. [1]

Таким чином, відповідно до визначення 1.3 і вищесказаному, побудована марковська модель відкритої мережі із трьома вузлами.

1.1 Рівняння глобальної рівноваги

Припустимо, що існує стаціонарний розподіл. Складемо рівняння рівноваги для стаціонарних ймовірностей, які для мереж називаються глобальними рівняннями рівноваги (балансу ).

Зі стану мережа може вийти або за рахунок надходження заявки в неї (інтенсивність ), або за рахунок обслуговування заявки одним з вузлів, наприклад, - им (інтенсивність ). Тому інтенсивність виходу зі стану для марковського процесу дорівнює , де - індикаторна функція множини . Отже, потік імовірності зі стану дорівнює:

. (1.1.1)

Увійти ж у стан можна або зі стану , якщо в мережу надійде заявка, спрямована в перший вузол ( інтенсивність ), або зі стану , якщо заявка завершить обслуговування в другому вузлі й піде з мережі ( інтенсивність ), або, нарешті, зі станів , ( , ), якщо заявка завершить обслуговування на першому, (другому, третьому) вузлі й перейде відповідно в другий, ( третій, перший) (інтенсивність , ( , )). Тому потік імовірності в стан