Дипломная работа: Понятие и классификация систем массового обслуживания
Переходы системы S в различные состояния удобно изображать с помощью графа состояний (рис. 1).
Рисунок 1 – Пример размеченного графа состояний
Вершины графа S1 , S2 , S3 обозначают возможные состояния системы. Стрелка, направленная из вершины Si в вершину Sj обозначает переход 
; число, стоящее рядом со стрелкой, обозначает величину вероятности этого перехода. Стрелка, замыкающаяся на i-той вершине графа, обозначает, что система остается в состоянии Si с вероятностью, стоящей у стрелки.
Графу системы, содержащему n вершин, можно поставить в соответствие матрицу NxN, элементами которой являются вероятности переходов pij между вершинами графа. Например, граф на рис. 1 описывается матрицей P:
называемой матрицей вероятностей переходов. Элементы матрицы pij удовлетворяют условиям:
(1)
(2)
Элементы матрицы pij – дают вероятности переходов в системе за один шаг. Переход
Si – Sj за два шага можно рассматривать как происходящий на первом шаге из Si в некоторое промежуточное состояние Sk и на втором шаге из Sk в Si . Таким образом, для элементов матрицы вероятностей переходов из Si в Sj за два шага получим:
В общем случае перехода за m шагов для элементов 
матрицы вероятностей переходов справедлива формула:
(3)
Получим два эквивалентных выражения для :
Пусть система S описывается матрицей вероятностей переходов Р:
Если обозначить через Р(m) матрицу, элементами которой являются рi вероятности переходов из Si в Sj за m шагов, то справедлива формула
,
где матрица Рm получается умножением матрицы P саму на себя m раз.
Исходное состояние системы характеризуется вектором состояния системы Q(qi ) (называемым также стохастическим вектором).
где qj - вероятность того, что исходным состоянием системы является Sj состояние. Аналогично (1) и (2) справедливы соотношения
Обозначим через
вектор состояния системы после m шагов, где qj – вероятность того, что после m шагов система находится в Si состоянии. Тогда справедлива формула