Растяжению вдоль соответствующей оси соответствует значение масштабного множителя большего единицы. В однородных координатах матрица растяжения (сжатия) имеет вид

.

2. Поворот вокруг начальной точки на угол , описываемый формулой:

Матрица вращения (для однородных координат)

.

3. Перенос, задаваемый простейшими соотношениями:

Матрица переноса имеет вид

.

2. Задача распознавание объекта

Данное раздел включает в себя широкий класс задач, различающихся в основном тем, каким образом задаются характеристики объекта и в как требуется его классифицировать.

Методы, применяемые для решения поставленной задачи, во многом зависят от особенностей объекта, который требуется локализовать. Зачастую, постановка задачи неформальна – описать свойства нужного объекта в математических терминах бывает достаточно сложно, поэтому задание часто звучит, например, так - нужно найти на изображении все, похожее вот на "это" (картинка с примером). Или, даже просто словами – найти на изображении всех, скажем, божьих коровок. Соответственно, решение задачи заключается в формулировке свойств распознаваемого объекта и конструировании устойчивого метода нахождения объектов, отвечающих указанным свойствам.

В числе основных сложностей при решении данной задачи – большое разнообразие входных данных и трудность выделения общих свойств внешнего вида для объектов естественного происхождения. Объекты искусственного происхождения обычно распознавать значительно легче.

В методах описания свойств объекта для нахождения можно выделить два крайних направления:

Обобщение и использование эмпирических данных и правил об объекте (top-down, bottom-up)

Идея заключается в нахождении, обобщении и формулировке в математических терминах эмпирических наблюдений и правил о том, как на изображениях обычно выглядит интересующий нас объект. Продолжая пример с божьей коровкой, можно подметить следующее:

1. Божьи коровки обычно рыжего или красного цвета;

2. На спине у них обычно присутствует некоторое количество черных пятнен (можно также посчитать примерное соотношения размера пятен с размером насекомого);

3. Спина у них разделена на две половинки темной линией, обычно видимой. С одной из сторон этой линии у божьей коровки голова – темная, соотносящаяся по размерам с телом в некоторой пропорции;

4. Сверху божья коровка выглядит примерно как эллипс;

Хорошо, если известны дополнительные условия задачи и получения входных изображений, например:

1. Приблизительно известны ожидаемые размеры божьих коровок (то есть известно увеличение камеры и расстояние до снимаемого объекта);

2. Нас интересуют только божьи коровки, сидящие на листьях (значит, если принять, что листья зеленые, можно рассматривать только объекты, находящиеся на зеленом фоне);

Опираясь на перечисленные правила можно построить некий алгоритм их проверки и нахождения объектов на изображении, отвечающих этим правилам. Сложность заключается в том, что, во-первых, правила могут не описывать всех свойств объекта, во-вторых, правила могут выполняться не всегда, в-третьих, в процессе нахождения правил и их математической формулировке происходит ряд упрощений, уводя все дальше от вида реального объекта. Понятно, что успешность описанного метод напрямую зависит от фантазии и наблюдательности разработчика.

Моделирование внешнего вида объекта, использование инструментария распознавания образов (pattern recognition) .

Суть этого подхода заключается в вычислении некоторых числовых характеристик изображения моделируемого объекта (вектора признаков) и применение различных математических методов для определения "похожести" тестовых изображений на изображение объекта, основываясь на этих характеристиках.

Например, само изображение требуемого объекта можно напрямую представить как вектор в многомерном пространстве и натренировать некоторый классификатор с помощью набора примеров изображений объектов. Классификатор в данном случае означает некоторый инструмент, принимающий на вход изображение, представленное в виде вектора в многомерном пространстве, и выдающего на выходе некую информацию, классифицирующую входное изображение относительно некоторого признака.

Примеры часто используемых классификаторов:

1. Метод наименьших квадратов;