Дипломная работа: Расчет и анализ потерь активной мощности

Память, используемая для хранения разреженных матриц, состоит из двух частей: основной, содержащей числовые значения, и накладной, предназначенной для хранения информации о местоположении в матрице хранимых значений. Чем сложнее схема хранения, тем больше накладная память и меньше основная, и наоборот. Время доступа к числовым значениям и, следовательно, время счета зависит также от схемы хранения. Процесс вычислений при статичной схеме хранения, эффективный в смысле требований к памяти и времени счета, может потребовать катастрофических накладных расходов при динамичном изменении схемы хранения. Из вышесказанного следует, что схему хранения желательно выбирать с учетом процесса вычислений.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений вида (1.23)

(1.24)

( , )

используется метод Гаусса или его модификации. В методе Гаусса система уравнений (1.24) решается в два хода – прямой и обратный. При прямом ходе матрица коэффициентов приводится к верхней треугольной форме. Для этого к системе (1.24) с t неизвестными применяется (t -1) – шаговый процесс исключения неизвестных. В результате на (t -1) – ом шаге будет получена треугольная система:

(1.25)

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных из (1.25), начиная с последнего уравнения.

Рассмотренные преобразования удобно реализовать в матричном виде. Если обозначить матрицу коэффициентов (1.25)

(1.26)

и ввести матрицу преобразований на r – том шаге

(1.27)

то

. (1.28)

Операция обращения матрицы преобразования (1.27) равносильна инвертированию недиагональных элементов, а произведение нижних треугольных матриц дает такую же матрицу, поэтому

(1.29)

где

(1.30)

Выражение (1.29) – т. н. LU – разложение матрицы А в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U.

Замена z=Uh показывает, что h можно получить, решая треугольные системы:

Lz=b (1.31)

Uh=z (1.32)

Выражение (1.31) – матричная запись заключительной части прямого хода метода Гаусса (пересчета свободных членов), а (1.32) – матричная запись обратного хода. Для симметричной матрицы

где D – диагональная матрица с элементами

i=1,2…., t,

разложение

(1.33)

называется – разложением.

Допущение относительно диагональных элементов (), называемых главными, существенно. В противном случае для обеспечения численной устойчивости необходима та или иная форма выбора главного элемента, т.е. перестановки строк и (или) столбцов. Эти перестановки определяются в процессе решения системы уравнений путем компромисса между требованиями численной устойчивости и сохранением разреженности. Для разреженных матриц общего вида нельзя установить порядок исключения неизвестных, пока не начались собственно вычисления. Более того, такой выбор главного элемента может привести к крайне нежелательному росту числа ненулевых элементов.