Дипломная работа: Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

1.3 Аксиоматика Гильберта

Хотя в современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиоматикой Гильберта, приведём её, как первую полную, независимую и непротиворечивую систему аксиом.

Все двадцать аксиом системы Гильберта подразделены на пять групп.

· Группа I содержит восемь аксиом принадлежности.

· Группа II содержит четыре аксиомы порядка.

· Группа III содержит пять аксиом конгруэнтности.

· Группа IV содержит две аксиомы непрерывности.

· Группа V содержит одну аксиому параллельности.

Переходим к формулировке аксиом по группам. Одновременно будем указывать некоторые утверждения, вытекающие из формулируемых аксиом.

I . Аксиомы принадлежности

I , 1. Каковы бы ни были две точки A и B , существует прямая a , которой принадлежат эти точки.

I , 2. Каковы бы ни были две точки A и B , существует не более одной прямой, которой принадлежат эти точки.

I , 3. Каждой прямой a принадлежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.

Указанные три аксиомы исчерпывают список аксиом принадлежности планиметрии. Следующие пять аксиом вместе с указанными тремя завершают список аксиом принадлежности стереометрии.

I , 4. Каковы бы ни были три точки A , B и C , не принадлежащие одной прямой, существует плоскость α, которой принадлежат эти три точки. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.

I , 5. Каковы бы ни были три точки A , B и C , не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой принадлежат эти точки.

I , 6. Если две принадлежащие прямой a различные точки A и B принадлежат некоторой плоскости α, то каждая принадлежащая прямой a точка принадлежит указанной плоскости.

I , 7. Если существует одна точка A , принадлежащая двум плоскостям α и β, то существует по крайней мере ещё одна точка B , принадлежащая обоим этим плоскостям.

I , 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

С целью использования привычной для нас геометрической лексики договоримся отождествлять между собой следующие выражения: 1) «точка А принадлежит прямой a (плоскости α)», 2) «прямая а (плоскость α) проходит через точку А » 3) «точка А лежит на прямой а (плоскости α)» 4) «точка А является точкой прямой а (плоскости α)» и тому подобные.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки.

Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки.

Теорема 3. Плоскость и не лежащая на ней прямая не могут иметь более одной общей точки.

Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямые с общей точкой проходит одна и только одна плоскость.

Теорема 5. Каждая плоскость содержит по крайней мере три точки.

II . Аксиомы порядка

II , 1. Если точка B прямой а лежит между точками А и С той же прямой, то А, В и С – различные точки указанной прямой, причем В лежит также и между С и А.

II , 2. Каковы бы ни были две различные точки А и С, на определяемой ими прямой существует по крайней мере она точка В такая, что С лежит между А и В.

II , 3. Среди любых трёх точек, лежащих на одной прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.