Дипломная работа: Розробка алгоритму та програми чисельного розвязку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженою

Викладений метод розв’язку систем лінійних рівнянь називається методом головних елементів. Необхідна умова його застосування полягає в тому, що визначник матриці не дорівнює нулю [6,7].

1.1. 4 Схема Халецького

Нехай система лінійних алгебраїчних рівнянь дана в матричному вигляді: , де А – квадратна матриця розмірності n ; , – вектори-стовпці.

Представимо матрицю А у вигляді добутку нижньої трикутної матриці С і верхньої трикутної матриці В з одиничною діагоналлю, тобто А=СВ , де

Причому елементи с_ij і b_ij визначаються по формулах:

(1.11)

Рівняння можна записати в наступному вигляді:

(1.13)

Добуток матриці B на вектор-стовпець є вектором-стовпцем, який позначимо через :

(1.14)

Тоді рівняння (1.13) перепишемо у вигляді:

(1.15)

Тут елементи с_ij відомі, тому що матриця А системи вважається вже розкладеною на добуток двох трикутних матриць С і В .

Перемноживши матриці в лівій частині рівності (1.15), одержуємо систему рівнянь, з якої одержимо наступні формули для визначення невідомих:

Невідомі y_i зручно обчислювати разом з елементами b_ij .

Після того, як усі y_i визначені по формулах (1.16), підставляємо їх у рівняння (1.14) [8].

Оскільки коефіцієнти b_ij визначені в (1.12), то значення невідомих, починаючи з останнього, обчислюємо по наступних формулах:

(1.17)

1.1.5 Метод квадратного кореня

Даний метод використовується для розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь виду

(1.18)

у яких матриця А симетрична, тобто А^Т =А , a_ij =a_ji (i=j=1,...,n) .

Розв’язок системи (1.18) здійснюється у два етапи.

Прямий хід. Перетворення матриці А і представлення її у вигляді добутку двох взаємно транспонованих трикутних матриць:

(1.19)

де

Перемножуючи S^Т і S , і дорівнюючи матриці А , одержимо наступні формули для визначення s_ij :

Після знаходження матриці S систему (1.18) заміняємо двома їй еквівалентними системами з трикутними матрицями (1.19):

(1.21)