Дипломная работа: Розробка алгоритму та програми чисельного розвязку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженою

(1.23)

Використовуючи (1.22) і (1.23) послідовно знаходимо:

(1.24)

(1.25)

1.1.6 Метод прогону

Для розв’язку систем виду або, що те ж саме,

(1.26)

використовується метод прогону, заснований на припущенні, що шукані невідомі зв'язані рекурентним співвідношенням:

(1.27)

де i=1,… ,n-1 .

Використовуючи це співвідношення, виразимо x_i-1 і x_i через x_i+1 і підставимо в рівняння (1.26):

(1.28)

де F_i – права частина i -го рівняння. Це співвідношення буде виконуватися незалежно від розв’язку, якщо зажадати

(1.29)

(1.30)

Звідси випливає:

(1.31)

(1.32)

З першого рівняння одержимо:

(1.33)

(1.34)

Після знаходження прогоночних коефіцієнтів α і β , використовуючи рівняння (1.27), одержимо розв’язок системи. При цьому

(1.35)

1.1.7 Матричний метод

Матричний метод розв’язку систем лінійних алгебраїчних рівнянь з ненульовим визначником полягає в наступному.

Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими (над довільним полем):

(1.36)

Тоді її можна переписати в матричній формі:, де A – основна матриця системи, і – стовпці вільних членів і рішень системи відповідно:

Помножимо це матричне рівняння ліворуч на A^-1 – матрицю, зворотню до матриці A :

(1.37)

Оскільки A⁻¹ A=E (враховуючи асоциативність матричного добутку), одержуємо . Права частина цього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосовності даного методу (як і взагалі існування розв’язку неоднорідної системи лінійних рівнянь із числом рівнянь, рівним числу невідомих) є невирідженість матриці A . Необхідною і достатньою умовою цього є нерівність нулю визначника матриці A : detA ≠0.