Дипломная работа: Теория игр

а11

х2 х11 Х

Рис.1. Подписать рисунок

Аналогично строится отрезок В ₂ В ₂ , соответствующий стратегии В ₂ игрока В.

Определение 1. Ломаная линия, составленная из частей отрезков, интерпретирующих стратегии игрока В, расположенная ниже всех отрезков, называется нижней границей выигрыша , получаемого игроком А.

Определение 2. Стратегии, части которых образуют нижнюю границу выигрыша, называются активными стратегиями.

В игре (2 ´ 2) обе стратегии являются активными.

В1 а21

В2

а12 К

В2 а22

В1

а11 v

О х2 N х1 1 Х

Рис.2.

Ломаная В ₁ КВ ₂ является нижней границей выигрыша, получаемого игроком А. (см. рис.2) Точка К , в которой он максимален, определяет цену игры и ее решение. Найдем оптимальную стратегию первого игрока. Запишем систему уравнений

Приравнивая выражения для v из уравнений системы и учитывая, что

x ₁ + x ₂ = 1, получим , , (1)

. (2)

Составляя аналогичную систему

и учитывая условие

y ₁ + y ₂ = 1,

можно найти оптимальную стратегию игрока В:

. (3)

Пример 1. Найти решение игры, заданной матрицей

.

a = max ( 1,1) = 1, b = min ( 3,2) = 2, a ¹ b , . ???? ?? ????? ???????? ?????. ??????????? ??????? ??????? ?????? ? ??????? ????????? ?????????. ???????? ?? ????????? ???????, ??????????????? ?????????? ??????? ??????. (??. ???.3)

Рис.3.