Дипломная работа: Теория игр
x 1 = 1/3, x 2 = 2/3; y 1 = 2/3, y 2 = 1/3; v =5/3.
Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков 
(1/3, 2/3) и 
(2/3, 1/3), цена игры составляет v =5/3.
Данный ответ означает следующее:
если первый игрок с вероятностью 1/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 2/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 5/3;
если второй игрок с вероятностью 2/3 будет применять первую стратегию и с вероятностью 1/3 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 5/3.
Второй случай. Рассмотрим игру (2 ´n ) с матрицей
.
Для каждой из n стратегий игрока В строится соответствующий ей отрезок на плоскости. Находится нижняя граница выигрыша, получаемого игроком А, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наибольшему выигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока В, отрезки которых проходят через данную точку. Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока В. Игра сводится к игре с матрицей (2 ´ 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).
Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей
.
a = max ( 1,1) = 1, b = min ( 4, 3, 3,4) = 3, a ¹ b , 
.
Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям второго игрока. (см. рис.4)
 |
???.4.
Нижней границей выигрыша для игрока А является ломаная В 3 КВ 4 . Стратегии В 3 и В 4 являются активными стратегиями игрока В. Точка их пересечения К определяет оптимальные стратегии игроков и цену игры. Второму игроку невыгодно применять стратегии В 1 и В 2 , поэтому вероятность их применения равна нулю, т.е. у 1 = у 2 = 0. Решение игры сводится к решению игры с матрицей (2 ´ 2)
.
a = max ( 1,1) = 1, b = min ( 3,4) = 3, a ¹ b , 
.
По формулам (1) - (3) находим оптимальные стратегии и цену игры:
x 1 = 2/5, x 2 = 3/5; y 3 = 3/5, y 2 = 2/5; v =11/5.
Ответ. Оптимальные смешанные стратегии игроков 
(2/5, 3/5) и 
(0, 0, 3/5, 2/5), цена игры составляет v =11/5.
Данный ответ означает следующее:
если первый игрок с вероятностью 2/5 будет применять первую стратегию и с вероятностью 3/5 вторую, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его выигрыш в среднем составит не менее 11/5;
если второй игрок с вероятностью 3/5 будет применять третью стратегию, с вероятностью 2/5 четвертую и не будет использовать первую и вторую стратегии, то при достаточно большом количестве игр с данной матрицей его проигрыш в среднем составит не более 11/5.
Третий случай. Рассмотрим игру (m ´ 2) с матрицей
.
Решение игры может быть получено аналогично случаю два. Для каждой из m стратегий игрока А строится соответствующий ей отрезок на плоскости.
Находится верхняя граница проигрыша, получаемого игроком В, и определяется точка на нижней границе, соответствующая наименьшему проигрышу. Выделяются две активные стратегии игрока А, отрезки которых проходят через данную точку.
Далее рассматриваются только эти две стратегии игрока А. Игра сводится к игре с матрицей (2 ´ 2). Оптимальные стратегии и цену игры находят по формулам (1) - (3).
Пример 3. Найти решение игры, заданной матрицей
.
a = max ( 3, 2, 0, - 1) = 3, b = min ( 4,6) = 4, a ¹ b , 
. Игра не имеет седловой точки. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий. Построим на плоскости отрезки, соответствующие стратегиям первого игрока. (см. рис.5).
 |
???.5.