Дипломная работа: Теория остатков

· Кольцо функций H(K) , голоморфных на связном компакте K в C (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в H(K) , если они совпадают в некоторой окрестности K ), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на K .

· Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций H(D) , голоморфных в открытом круге D , является пересечением евклидовых колец функций H(K) , голоморфных на замкнутых кругах K , содержащихся внутри D (см. предыдущий пример), однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.

· Кольцо частных S^-1 R евклидова кольца R по мультипликативной системе S тоже является евклидовым. Нормой дроби x из S^-1 R принимается

, где d_R — евклидова норма в R , а d_S — норма в S^-1 R .

Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби x = r / t и y из S^-1 R . По определению нормы в S^-1 R существует элементы u в R и s в S , такие что y = u / s и d_S (y ) = d_R (u ). Произведём деление с остатком в кольце R элементов rs и u :

rs = uq + r' , так что d_R (r ') < d_R (u ). Тогда r / t = (u / s )(q / t ) + r ' / ts . Из построения следуют неравенства .

· Евклидовыми являются кольца конечн?