Дипломная работа: Теория остатков

Проверяется, что если в сумме или произведении дроби заменить на эвивалентные, новый результат будет выражаться дробью, эквивалентной прежней. С такими операциями множество S ^{− 1} R приобретает структуру коммутативного кольца с единицей. Нулём в нём служит дробь 0/1 , единицей - дробь 1/1 .

Свойства

· Кольцо частных имеет каноническую структуру алгебры над кольцом R, так как вместе с кольцом S^-1 R сразу определён и канонический гомоморфизм кольца R в S^-1 R (каждому элементу r из R соответствует дробь r/1 ). Ядром этого гомоморфизма является идеал I_S . В случае, если система S регулярна (не содержит делителей нуля), этот гомоморфизм инъективен, и кольцо R , таким образом, вложено в своё кольцо частных по системе S . При этом дробь r/s является единственным решением уравнения sx = r .

· Если оба элемента r и s принадлежат S , тогда в кольце S^-1 R содержатся дроби r/s и s/r . Их произведение равно 1, следовательно, они обратимы. Обратно: каждый обратимый элемент кольца S^-1 R имеет вид er/s , где r и s принадлежат S, а e - обратимый элемент кольца R .

· Если кольцо R не имеет (собственных) делителей нуля (т.е. это целостное кольцо), множество всех ненулевых элементов образует мультипликативную систему S . Соответствующее кольцо частных будет полем, которое называется полем частных целостного кольца. Отсюда следует, что каждое целостное кольцо вложено в некоторое поле, а именно - в своё поле частных .

· Если R - евклидово кольцо, то всякое кольцо, промежуточное между R и его полем частных, является кольцом частных кольца R по некоторой мультипликативной системе S .

· Если система S состоит из одних только обратимых элементов кольца R , канонический гомоморфизм кольца R в S^-1 R превращается в изоморфизм, так как каждая дробь r/s оказывается сократимой в кольце R .

· Если кольцо R ' является подкольцом кольца R , то множество всех элементов из R ', обратимых в кольце R , образует регулярную мультипликативную систему S в кольце R' . Тогда каждой дроби r/s однозначно соответствует некоторый элемент кольца R . Множество всех таких элементов кольца R образует кольцо частных кольца R' в кольце R .

Примеры

· Полем частных кольца целых чисел является поле рациональных чисел .

· Степени числа 10 в образуют мультипликативную систему. Кольцом частных по ней будет кольцо конечных десятичных дробей.

· Полем частных кольца многочленов k [X ₁ ,X ₂ ,...,X_n ] над полем k будет поле рациональных функций k (X ₁ ,X ₂ ,...,X_n ).

· Пусть — простой идеал в R . Тогда дополнение к нему - мультипликативная система. Кольцо частных по ней называется локализацией кольца R по простому идеалу .

· Чётные числа в образуют простой идеал. Локализацией кольца по нему будет кольцо рациональных дробей, у которых в несократимом виде знаменатель — нечётное число.

2.3 Евклидовы кольца

Неформально, евклидово кольцо — в абстрактной алгебре — кольцо, в котором «работает» алгоритм Евклида.

Евклидово кольцо — это область целостности R , для которой определена евклидова функция (евклидова норма ) , причём , и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых имеется представление a = bq + r , для которого d (r ) < d (b ).

Замечание

Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: для любых a и ненулевых b из кольца R . Если на R задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:

Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком уже не годится — его тоже надо поправлять. Пусть таков, что d '(b ) = d (bx ). Разделим с остатком ax на bx : ax = bxq ' + r 'x , где r ' = a − bq ' и d (r 'x ) < d (bx ) = d '(b ). Так как из определения , мы получили представление a = bq ' + r ' с d '(r ') < d '(b ), что и требовалось.

Тем не менее бонусов от такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента a имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.

Примеры

· Кольцо целых чисел Z . Пример евклидовой функции — абсолютное значение .

· Кольцо целых гауссовых чисел Z [i] (где i — мнимая единица, i ² = − 1) с нормой d (a + ib ) = a ² + b ² — евклидово.

· Произвольное поле K является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.

· Кольцо многочленов в одной переменной K [x ] над полем K . Пример евклидовой функции — степень deg.

· Кольцо формальных степенных рядов K [[x ]] над полем K является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).