Дипломная работа: Теория остатков

4. преобразовывают некоторые конструктивные объекты.

Между операторами алгоритма и операциями (элементарными действиями) алгоритмического процесса существует гомоморфное соответствие. Поэтому алгоритм следует также считать моделью алгоритмического процесса». (А. Копаев)

Формальные признаки алгоритмов

Различные определения алгоритма в явной или неявной форме содержат следующий ряд общих требований:

· детерминированность — определённость. В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных. В современной трактовке у разных реализаций одного и того же алгоритма должен быть изоморфный граф. С другой стороны, существуют вероятностные алгоритмы, в которых следующий шаг работы зависит от текущего состояния системы и генерируемого случайного числа.

· понятность — алгоритм для исполнителя должен включать только те команды, которые ему (исполнителю) доступны, которые входят в его систему команд.

· завершаемость (конечность) — при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов. С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.

· массовость — алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.

Современное формальное определение алгоритма было дано в 30-50-х гг. XX века в работах Тьюринга, Поста, Чёрча (тезис Чёрча — Тьюринга), Н. Винера, А. А. Маркова.

1.2 Алгоритм Евклида

Определение. Число d Z , делящее одновременно числа а , b , c , ... , k Z , называется общим делителем этих чисел. Наибольшее d с таким свойством называется наибольшим общим делителем. Обозначение: d = ( a , b , c , ..., k ) .

Теорема . Если ( a , b ) = d , то найдутся такие целые числа u и v , что d = au + bv .

Доказательство . Рассмотрим множество P = { au + bv u,v Z }. Очевидно, что P Z , а знатоки алгебры могут проверить, что P – идеал в Z . Очевидно, что a , b , 0 P . Пусть x , y P и y 0 . Тогда остаток от деления x на y принадлежит P . Действительно:

x = yq + r , 0 r < y ,

r = x – yq = ( au ₁ + bv ₁ ) – ( au ₂ + bv ₂ ) q = a ( u ₁ – u ₂ q )+ b ( v ₁ – v ₂ q ) P .

Пусть d P - наименьшее положительное число из P (призадумайтесь, почему такое имеется!). Тогда а делится на d . В самом деле, a = dq + r ₁ , 0 r ₁ < d , a P , d P , значит r ₁ P , следовательно r ₁ = 0. Аналогичными рассуждениями получается, что b делится на d , значит d - общий делитель a и b .

Далее, раз d P , то d = au ₀ + bv ₀ . Если теперь d ₁ - общий делитель a и b , то d ₁ | ( au ₀ + bv ₀ ), т.е. d ₁ | d . Значит d d ₁ и d - наибольший общий делитель.

Определение. Целые числа a и b называются взаимно простыми, если (a , b ) = 1.

Вспоминая свойство 1 из предыдущего пункта, легко заметить, что два числа a и b являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда найдутся целые числа u и v такие, что au + bv = 1.

Пусть даны два числа a и b ; a 0, b 0, считаем, что a > b . Символом := в записи алгоритма обозначаем присваивание. Алгоритм:

1. Ввести a и b .

2. Если b = 0 , то Ответ: а . Конец .

a = bq 1 + r 1 b = r 1 q 2 + r 2 r 1 = r 2 q 3 + r 3 r 2 = r 3 q 4 + r 4	0 r 1 < b 0 r 2 < r 1 0 r 3 < r 2 0 r 4 < r 3
« 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 » К-во Просмотров: 557 Бесплатно скачать Дипломная работа: Теория остатков >>> Скачать <<< Меню Поиск