Книга: Уравнение линии на плоскости
Уравнение линии на плоскости
Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.
Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.
Если выразить в этом уравнении , то после замены
и
получим уравнение
, называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем
, где
– угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках
, где
и
– точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.
Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Пусть заданы две прямые и
.
Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.
Так как , то угол
между этими прямыми находится по формуле
.
Отсюда можно получить, что при прямые будут параллельными, а при
– перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии
и перпендикулярны при условии
Расстояние от точки до прямой
можно найти по формуле
Нормальное уравнение окружности:
Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
где - большая полуось,
- малая полуось и
. Фокусы находятся в точках
. Вершинами эллипса называются точки
,
,
,
. Эксцентриситетом эллипса называется отношение
Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
где - большая полуось,
- малая полуось и
. Фокусы находятся в точках
. Вершинами гиперболы называются точки
,
. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение
Прямые называются асимптотами гиперболы. Если
, то гипербола называется равнобочной.
Из уравнения получаем пару пересекающихся прямых
и
.
Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.
Каноническое уравнение параболы
.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--