Книга: Уравнение линии на плоскости

Уравнение линии на плоскости

Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.

Если выразить в этом уравнении , то после замены и получим уравнение , называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем , где – угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках

, где и – точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Пусть заданы две прямые и .

Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.

Так как , то угол между этими прямыми находится по формуле

.

Отсюда можно получить, что при прямые будут параллельными, а при – перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии и перпендикулярны при условии

Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле

Нормальное уравнение окружности:

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами эллипса называются точки , , ,. Эксцентриситетом эллипса называется отношение

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами гиперболы называются точки , . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение

Прямые называются асимптотами гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной.

Из уравнения получаем пару пересекающихся прямых и .

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение параболы

.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--