Книга: Уравнение линии на плоскости
Понятие функциональной зависимости
Основные вопросы лекции: множества; основные операции над множествами; определение функции, ее область существования, способы задания; основные элементарные функции, их свойства и графики; числовые последовательности и их пределы; предел функции в точке и на бесконечности; бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства; основные теоремы о пределах; замечательные пределы; непрерывность функции в точке и на интервале; свойства непрерывных функций.
Если каждому элементу множества
ставится в соответствие вполне определенный элемент
множества
, то говорят что на множестве
задана функция. При этом
называется независимой переменной или аргументом, а
– зависимой переменной, а буква
обозначает закон соответствия.
Множество называется областью определения или существования функции, а множество
– областью значений функции.
Существуют следующие способы задания функции
1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида
2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции
3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента
, а ординаты – соответствующие им значения функции
4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.
Основные свойства функции
1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения и нечетной, если
. В противном случае функция называется функцией общего вида.
2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке
, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.
3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке
, если существует такое положительное число
, что
для любого
. В противном случае функция называется неограниченной.
4. Периодичность. Функция называется периодической с периодом
, если для любых
из области определения функции
.
Классификация функций.
1. Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной
, определенной на множестве
с областью значений
. Поставим в соответствие каждому
единственное значение
, при котором
. Тогда полученная функция
, определенная на множестве
с областью значений
называется обратной.
2. Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной
, определенной на множестве
с областью значений
, а переменная
в свою очередь является функцией.
Наиболее часто используются в экономике следующие функции.
1. Функция полезности и функция предпочтений – в широком смысле зависимости полезности, то есть результата, эффекта некоторого действия от уровня интенсивности этого действия.
2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.
3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от начало или потребления ресурсов.
4. Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.
5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов.
Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число
то говорят, что задана числовая последовательность
.
:
Числа называются членами последовательности, а число
- общим членом последовательности.
Число называется пределом числовой последовательности
, если для любого малого числа
найдется такой номер
(зависящий от
), что для всех членов последовательности с номерами
верно равенство
.Предел числовой последовательности обозначается
.
Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Число называется пределом функции
при
, если для любого малого числа
найдется такое положительное число
, что для всех
таких, что
верно неравенство
.