Книга: Уравнение линии на плоскости

.

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть .

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при:

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на один процент.

Геометрически это означает что эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями и .

Основные свойства эластичности функции:

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции , то есть .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

, .

3. Эластичность взаимообратных функций – взаимно обратные величины:

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям

1. Непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида или , то

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастаетна этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.