Книга: Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Пример 5. Найти точку , делящую отрезок
в отношении
, если
.
Решение. Определим координаты точки :
. Таким образом,
.
Аналитическая геометрия.
Уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид: ,
, где
– нормальный вектор плоскости (т.е. перпендикулярный плоскости), а коэффициент
пропорционален расстоянию от начала координат до плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
, имеет вид
.
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,
и
имеет вид:
.
Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы
и
, определяется как угол между векторами
и
по формуле:
.
Расстояние от точки до плоскости
вычисляется по формуле
.
Пример 6. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки ,
,
.
Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислим определитель
, или
– искомое уравнение плоскости.
Уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: , где
– нормальный вектор прямой (перпендикулярный прямой), а коэффициент
пропорционален расстоянию от начала координат до прямой.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку , имеет вид
или
.
В другом виде , где
– тангенс угла, образованного прямой и положительным направлением оси Ox, называемый угловым коэффициентом, b – ордината точки пересечения прямой с осью Oy.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и
, имеет вид
.
Угол между двумя прямыми
и
определяется формулой
.
Расстояние от точки до прямой
находится по формуле
.
Пример 7. Даны уравнения двух сторон прямоугольника ,
и уравнение его диагонали
. Составить уравнения
![]() |
????????? ?????? ? ?????? ????????? ????? ??????????????.
Решение. Сделаем схематический чертеж (Рис.6). Перепишем данные уравнения в виде: ,
,
. Так как угловые коэффициенты прямых, задающих стороны прямоугольника, одинаковы
, то эти уравнения задают параллельные прямые, то есть стороны, на них лежащие, противоположны. Найдем точки пересечения данной диагонали с этими сторонами. Пусть это будут точки
и
. Для этого приравняем сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения:
;
. Таким образом,
.
Неизвестные стороны параллельны между собой и перпендикулярны данным (так как это прямоугольник).