Книга: Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Таким образом, уравнения неизвестных сторон прямоугольника таковы:
. Подставив в первое уравнение координаты точки
, во второе – точки
, получим, что
и, следовательно,
,
.
Найдем координаты точек и
, приравняв уравнения соответствующих сторон:
, то есть
;
, то есть
.
Уравнение диагонали получим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
и
:
или
.
Уравнения прямой в пространстве. Прямая в пространстве Oxyz определяется как линия пересечения двух плоскостей (общие уравнения прямой в пространстве).
Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид
,
где – точка, через которую проходит прямая, а вектор
, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.
Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки и
имеют вид
.
Угол между двумя прямыми с направляющими векторами
и
определяется по формуле
.
Пример 8. Пирамида задана координатами своих вершин ,
,
. Требуется найти:
1) длины ребер и
; 2) угол между ребрами
и
; 3) площадь грани, содержащей вершины
; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых
и
;
6) уравнение высоты , опущенной из вершины
на плоскость
;
7) расстояние от вершины до плоскости
; 8) угол между ребром
и гранью, содержащей вершины
.
Решение.1) Длины ребер и
определим как модуль векторов
и
по формулам
;
;
2) Найдем координаты векторов и
:
Длины этих векторов, т.е. длины ребер и
, таковы:
,
. Косинус угла между ребрами
и
вычислим по формуле
;
3) Площадь грани (треугольника) равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах
и
, т.е. половина модуля векторного произведения этих векторов, которое равно
.
Тогда, (кв. ед);
4) Объем пирамиды равен .