Контрольная работа: Чисельне розвязання задач оптимального керування

Очевидно, що останнє співвідношення є аналогом спряженої системи для неперервних задач керування. Дійсно,

.

Якщо , то з останнього співвідношення одержимо

.

Зі співвідношення (13) випливає, що .

Сформулюємо критерій оптимальності для задачі (4) – (7). Вважатимемо, що функції , неперервно-диференційовані за змінними і опуклі за . Тоді для локально-оптимального процесу існують такі множники Лагранжа , , , , не всі рівні нулю одночасно, що матимуть місце необхідні умови екстремуму:

1) умови стаціонарності в точці :

;

2) . (14)

Розпишемо (14), використовуючи вираз для функції Лагранжа:

Перетворимо вираз під знаком мінімуму, переходячи до довільного :

Або

Якщо , то з останнього співвідношення одержимо

2 Ітераційний метод розв’язання дискретної задачі оптимального керування з двійним перерахуванням

Розглянемо ітераційний метод пошуку оптимального керування задачі (4) – (7). Суть методу полягає в тому, що на кожній ітерації обчислюються два вектори: і . Перший із них містить -е наближення для керувань у моменти часу для системи (14), при , а другий – -е наближення для фазових станів системи в ці ж моменти часу. Отже, на кожній ітерації ми одержуємо процес , що є -м наближенням до шуканого оптимального процесу.

Контроль у методі подвійного перерахування полягає в повторному перерахуванні результатів задачі і порівнянні отриманих даних для різних значень кроку розбиття. У випадку розбіжності виконується корекція і обчислення повторюються.

Розглянемо алгоритм методу.

1. Задаємо крок розбиття та точність обчислень .

2. Задаємо початкове наближення – припустимий набір керувань на кожному кроці – початкову стратегію керування:

, , ,

де – наближення керування в момент на ітерації .

3. За визначеною в п. 2 стратегією керування будуємо фазову траєкторію процесу

, ,

на початкової ітерації , використовуючи початкові умови і різницеві співвідношення, що апроксимують рівняння руху:

, .