Контрольная работа: Чисельне розвязання задач оптимального керування

Кінець алгоритму.

3. Оптимальне стохастичне керування: формулювання із зовнішнім інтегралом

Розглянемо відображення , що задане формулою

, (17)

за таких припущень:

параметр приймає значення з вимірного простору . Для будь-якої фіксованої пари задана ймовірнісна міра на просторі , а символ у формулі (12) означає зовнішній інтеграл відносно цієї міри. Отже,

;

функції і відображують множину відповідно в множини і , тобто , ;

скаляр додатний.

Формули (1), (6) є окремими випадками відображення з (12). Очевидно, що відображення (1) для детермінованої задачі випливає з (12), якщо множина складається з єдиного елемента, а відображення (6) (для стохастичної задачі зі зліченним простором збурень) відповідає випадку, коли множина зліченна, а є -алгеброю, складеною із всіх підмножин .

Очевидно, що відображення з (12) задовольняє припущенню монотонності. Якщо на множини , і функції , і накласти вимоги вимірності, то витрати за кроків можна визначити в термінах звичайного інтегрування для будь-якої стратегії , для якої функції , вимірні.

Для початкового стану і стратегії ймовірнісні міри

, ...,

у сукупності із системою рівнянь

, (18)

визначають єдину міру на -кратному прямому добутку копій простору . У випадку, якщо, , і виконується одна з умов

або

,

то функція витрат за кроків, що відповідає вимірній стратегії , приводиться до звичайного вигляду
,

де стани , виражено як функції змінних , ..., за допомогою рівнянь (13) та початкового стану .

Рекурентне співвідношення методу динамічного програмування для розв’язання багатоетапних задач оптимального стохастичного керування зі скінченним горизонтом можна записати так:

, ,

де – щільність розподілу величини.

4 Оптимальне стохастичне керування:мультиплікативний функціонал витрат

Розглянемо відображення , що задане формулою

, (19)

за припущення, що параметр приймає значення зі зліченної множини відповідно до заданого розподілу ймовірностей, що залежать від стану і керування . Вважатимемо також, що , , , . Тоді відображення з формули (14) задовольняє припущенню монотонності.

Якщо , , то задача оптимального керування з мультиплікативним функціоналом витрат і скінченним горизонтом матиме такий вигляд:

, (20)

. (21)