Контрольная работа: Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

Введение

1. Гиперболические уравнения как подкласс дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных

2. Классификация уравнений гиперболического типа в контексте классификации уравнений математической физики

2.1 Волновое уравнение

2.2 Уравнение теплопроводности

2.3 Интегро-дифференциальные уравнения

3. Применение различных методов решения в зависимости от видов гиперболических уравнений

3.1 Явная разностная схема

3.2 Неявная разностная схема

Заключение

Список литературы

Введение

Настоящая курсовая работа посвящена классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.

Актуальность тематики исследования обусловлена широким кругом практических приложений гиперболических уравнений.

Целью настоящей курсовой работы является приведение классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.

Задачами работы являются:

1. Рассмотреть классификацию гиперболических уравнений в рамках общей классификации уравнений математической физики.

2. Привести собственно классификацию гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.

3. В связи с приведенной классификацией гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных описать применение методов решения уравнений.

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.

1. Гиперболические уравнения как подкласс дифференциальных уравнений в частных производных. Классификация уравнений в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой одну из наиболее сложных и одновременно интересных задач вычислительной математики. Эти уравнения характеризуются тем, что для их решения не существует единого универсального алгоритма, и большинство задач требует своего собственного особого подхода. Уравнениями в частных производных описывается множество разнообразных физических явлений, и с их помощью можно с успехом моделировать самые сложные явления и процессы (диффузия, гидродинамика, квантовая механика, экология и т. д.).

Дифференциальные уравнения в частных производных требуют нахождения функции не одной, как для ОДУ, а нескольких переменных, например, f (х,у) или f(x,t). Постановка задач включает в себя само уравнение (или систему уравнений), содержащее производные неизвестной функции по различным переменным (частные производные), а также определенное количество краевых условий на границах расчетной области.

Несмотря на то, что Mathcad обладает довольно ограниченными возможностями по отношению к уравнениям в частных производных, в нем имеется несколько встроенных функций. Решать уравнения в частных производных можно и путем непосредственного программирования пользовательских алгоритмов.

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер задания которых определяются спецификой уравнения). По своему названию уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции и (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например, пространственной переменной х и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например, u(x,t) в некоторой области определения аргументов 0<x<L и 0<t<T. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости функции и, или производных этой функции, на границах расчетной области 0 и L, а начальные — как заданная и (х, 0).

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа:

· параболические — содержащие первую производную по одной переменной и вторую — по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

· гиперболические— содержащие первую производную по одной переменной и вторую — по другой, входящие в уравнение с разными знаками;

· эллиптические — содержащие только вторые производные, причем одного знака.

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--