Контрольная работа: Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):

u = δ (t - r/a)/r

(где δ — дельта-функция), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой «бесконечный всплеск» на окружности r = at, удаляющийся от начала координат со скоростью а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.

Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:

Ж. Д'Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн: u = f (x - at) + g (x + at), а Л. Эйлер (1748) установил, что функции f и g определяются заданием так называемых начальных условий.

2.2 Уравнение теплопроводности

Уравнение теплопроводности – дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле); основное уравнение математической теории теплопроводности. Уравнение теплопроводности выражает тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды уравнение теплопроводности имеет вид[2] :

,

где r — плотность среды; c_v — теплоёмкость среды при постоянном объёме; t — время; х, у, z — координаты; Т = Т (х, у, z, t) — температура, которая вычисляется при помощи Т. у.; l — коэффициент теплопроводности; F = F (x, y, z, t) — заданная плотность тепловых источников. Величины r, C_v , l зависят от координат и, вообще говоря, от температуры. Для анизотропной среды Т. у. вместо l содержит тензор теплопроводности l_ir , где i, k = 1, 2, 3.

В случае изотропной однородной среды уравнение теплопроводности принимает вид[3] :

,

где DT — оператор Лапласа, a² = l/(rc_v ) — коэффициент температуропроводности; f = F/(rc_v ). В стационарном состоянии, когда температура не меняется со временем, Т. у. переходит в уравнение Пуассона DТ = f/a² = F/l или, при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнение DТ = 0. Основными задачами для уравнения теплопроводности является Коши задача и смешанная краевая задача.

Первые исследования Т. у. принадлежат Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским, А. Н. Тихоновым, С. Л. Соболевым.

– простейший пример уравнения параболического типа. Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.

Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

Для этого уравнения полуплоскость служит зоной эллиптичности, полуплоскость у < 0 – зоной гиперболичности, а прямая у = 0 – зоной параболичности.

2.3 Интегро-дифференциальные уравнения

Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение.

Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось, что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования.

Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений. При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.

Интегро-дифференциальные уравнения, уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла и под знаком производной. Например, уравнение, полученное итальянским математиком В. Вольтерра в задаче о крутильных колебаниях:

Иногда интегро-дифференциальные уравнения можно свести к интегральным уравнениям или дифференциальным уравнениям. Решение интегро-дифференциальных уравнений можно искать по методу последовательных приближений[4] .

Интегральные уравнения, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к интегральным уравнениям различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А, занимающего отрезок 0 £ x £ l оси Ox, причём освещённость объекта характеризуется плотностью u(x). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x₁ ; последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 £ x₁ £ l . Если дифференциально малый участок (х, х + Dх) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K(x₁ , x)u(x)dx, где функция K(x₁ , x) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность

В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v(x₁ ) изображения или «точного» фотографического изображения [v(x) = ku(x), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u(x) — v(x) = f(x)], приходят к различным интегральным уравнениям относительно функции u(x):