Контрольная работа: Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных
Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида
линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,— уравнение вида
[при f (x) = 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром l:
Во всех уравнениях функция
— так называемое ядро интегрального уравнения — известна, так же, как функция f (x) (а £ х £ b); искомой является функция u(x) (а £ х £ b).
Функции K(x, y), f (x), u(x) и параметр уравнения l могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K(x, y) обращается в нуль при у > х, получается уравнение Вольтерра:
Интегральное уравнение называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K(x, y) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а £ х £ b, а £ y £ b или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение
Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида
Или
Линейные интегральные уравнение 2-го рода решаются следующими методами:
1) решение u(x) получается в виде ряда по степеням l (сходящегося в некотором круге |l|<K) с коэффициентами, зависящими от х (метод Вольтерра — Неймана);
2) решение u(x), при тех значениях l, при которых оно вообще существует, выражается через некоторые целые функции от l (метод Фредгольма);
3) в случае, когда ядро симметрично, т. е. К(х, y) º К(у, x), решение u(x) выражается в виде ряда по ортогональным функциям uк (х), являющимся ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения
(последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра l = lк , k = 1, 2, ..) (метод Гильберта — Шмидта);
4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью преобразования Лапласа;
5) в случае, когда
(так называемое вырожденное ядро), отыскание u(х) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к
какую-либо формулу численного интегрирования, либо заменив данное ядро К(х, y) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К(х, у). К интегральным уравнениям часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность[5] .