Контрольная работа: Классификации гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных

(9)

Если привести подобные слагаемые, то получится система уравнений, связывающая для каждого 1-го узла три неизвестных значения сеточной функции (в самом этом узле и в соседних с ним слева и справа узлах). Множители при неизвестных значениях сеточной функции в узах шаблона показаны на рис. 9 в виде подписей, подобно тому, как это было сделано для явной схемы.

Рис. 9. Шаблон неявной схемы для уравнения теплопроводности

Очень важно, что если само уравнение теплопроводности линейно, то с в левой части разностного уравнения является константой, а ф в его правой части может зависеть только от первой степени и. Поэтому система уравнений (10) для всех пространственных узлов 1=1. .м-l является линейной системой, что существенно упрощает ее решение (поскольку известно, что для линейных систем с ненулевым определителем решение существует и является единственным). Напомним, что для получения замкнутой системы линейных уравнений необходимо дополнить данный набор разностных уравнений граничными условиями, т.е. известными значениями сеточной функции для i=0 и i=M.

Рис. 9. Решение лин?