Контрольная работа: Линейная алгебра и математическое программирование

Задачи 1–10. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его двумя способами: а) по правилу Крамера; б) матричным способом

8.

Решение

Используя формулы Крамера

Вычислим определитель системы линейных уравнений

Д = = (-4)(-5)1 + 3(5)3 + (-2)(-2)(-4) – (-2)(-5)(3) – (-4)(5)(-4) -3(-2)(1) =

= 20 + 45 – 16 – 30 – 80 + 6 = - 55

Так как Д # 0, то система линейных уравнений невырожденная и имеет единственное решение.

Вычислим определители Д1, Д2, Д3

Д1 = = (31)(-5)1 + (-6)(5)3 + (-11)(-2)(-4) – (-11)(-5)(3) – (31)(5)(-4) – (-6)(-2)(1) = - 155 – 90 – 88 – 165 + 620 – 12 = 110

Д2 = = (-4)(-6)1 + 3(-11)3 + (-2)(31)(-4) – (-2)(-6)(3) – (-4)(-11)(-4) – 3(31)(1) = 24 – 99 + 248 – 36 + 176 - 93 = 220

Д3 = = (-4)(-5)(-11) + (3)(5)31 + (-2)(-2)(-6) – (-2)(-5)(31) – (-4)(5)(-6) – 3(-2)(-11) = - 220 + 465 – 24 – 310 – 120 – 66 = - 275

Отсюда, X₁ = = = - 2, X₂ = = = - 4, X₃ = = = 5

Проверка:

,

что подтверждает правильность найденного решения системы линейных уравнений.

· Решение матричным способом

A * X = B X = * В

= * * . Д = = - 55

здесь - алгебраические дополнения, которые и вычислим:

A11 = = (-5)1 – 5(-4) = 15

A12 = = -(3(1) –(-2)(-4)) = 5

A13 = = 3(5) – (-2)(-5) = 5

A21 = = -( (-2)1 – 5(3) ) = 17

A22 = = (-4)1 – (-2)3 = 2

A23 = = - ( (-4)5 – (-2)(-2) ) = 24

A31 = = (-2)(-4) – (-5)3 = 23

A32 = = - ( (-4)(-4) – 3(3) ) = - 7

A33 = = (-4)(-5) – 3(-2) = 26

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--