Контрольная работа: Математичне моделювання економічних систем
Завдання 4. Транспортна задача
Для заданих транспортних задач скласти математичну модель і розв’язати їх методом потенціалів, використавши для визначення початкового плану метод мінімального елемента або північно-західного кута.
1. Запаси деякого однорідного продукту знаходяться на трьох пунктах постачання (базах) A1, A2, A3 і цей продукт потрiбно доставити в три пункти споживання (призначення) B1, B2, B3. Задача полягає в тому, щоб визначити, яку кiлькiсть продукту потрiбно перевезти з кожного пункту постачання (бази) до кожного пункту споживання (призначення) так, щоб забезпечити вивезення всього наявного продукту з пунктів постачання, задовільнити повністю потреби кожного пункту споживання і при цьому сумарна вартiсть перевезень була б мiнiмальною (зворотні перевезення виключаються). Вартість перевезеньс ij (у грн.) з бази А i до пункту призначення Bj вказана в таблиці, де також наведені дані про запаси ai (у тонанх) продукту і його потреби (у тонах) bj .
| Пункти | Пункти споживання | Запаси | ||
| постачання | B1 | B2 | B3 | |
| A1 | 3 | 5 | 7 | 270 |
| A2 | 6 | 9 | 4 | 180 |
| A3 | 11 | 8 | 10 | 300 |
| Потреби | 260 | 280 | 300 | |
Для даної транспортної задачі не виконується умова балансу 
, тому введемо додатковий пункт постачання з запасами 840-750=90 і тарифами С4 s =0 (i=1,2,3). Тоді одержимо замкнену транспортну задачу, яка має розв’язок. Її математична модель має вигляд:
хi ,
j ³ 0, 1£i£4, 1£j£3.
| Пункти | Пункти споживання | Запаси | ||
| постачання | B1 | B2 | B3 | |
| A1 | 3 | 5 | 7 | 270 |
| A2 | 6 | 9 | 4 | 180 |
| A3 | 11 | 8 | 10 | 300 |
| A4 | 0 | 0 | 0 | 90 |
| Потреби | 260 | 280 | 300 | 840 840 |
За методом північно-західного кута знайдемо опорний план
| Пункти | Пункти споживання | Запаси | ||
| постачання | B1 | B2 | B3 | |
| A1 | 3 260 | 5 10 | 7 | 270 |
| A2 | 6 | 9 180 | 4 | 180 |
| A3 | 11 | 8 90 | 10 210 | 300 |
| A4 | 0 | 0 | 0 90 | 90 |
| Потреби | 260 | 280 | 300 | 840 840 |
За методом північно-західного кута опорний план має вигляд:
.
F=3*260+5*10+9*180+8*90+10*210+0*90=5270
Перевіримо чи буде він оптимальним.
Знаходимо потенціали для пунктів постачання
Для тих клітинок, де
, розв’яжемо систему рівнянь
Знаходимо з системи:
. 
 |
Для тих клітинок, де
, знайдемо числа 
Оскільки 
, то план Х1 не є оптимальним. Будуємо цикл перерахунку
| Пункти | Пункти споживання | Запаси | ||||||
| постачання | B1 | B2 | B3 | |||||
| A1 | 3 | 5 | 7 | 0 | 270 | |||
| 260 | 10 | |||||||
| A2 | 6 | 1 | 9 | 4 | 7 | 180 | ||
| - | 180 | + | ||||||
| A3 | 11 | -5 | 8 | 10 | 300 | |||
| + | 90 | - | 210 | |||||
| A4 | 0 | -4 | 0 | -2 | 0 | 90 | ||
| 90 | ||||||||
| Потреби | 260 | 280 | 300 | 840 840 | ||||
В результаті перерахунку отримаємо
| Пункти | Пункти споживання | Запаси | ||
| постачання | B1 | B2 | B3 | |
| A1 | 3 260 | 5 10 | 7 | 270 |
| A2 | 6 | 9 | 4 180 | 180 |
| A3 | 11 | 8 270 | 10 30 | 300 |
| A4 | 0 | 0 | 0 90 | 90 |
| Потреби | 260 | 280 | 300 | 840 840 |
Наступний опорний план
F=3*260+5*10+9*180+8*90+10*210+0*90=4010
Для тих клітинок, де, розв’яжемо систему рівнянь
Знаходимо з системи:
 |
. 
Для тих клітинок, де
, знайдемо числа 
Отже план 
є оптимальним F =4010