Контрольная работа: Методы решения систем линейных уравнений

3. Оценка погрешности при решении системы линейных уравнений

Для того, чтобы оценить погрешности вычислений решения системы линейных уравнений, нам нужно ввести понятия соответствующих норм матриц.

Прежде всего, вспомним три наиболее часто употребляемые нормы для вектора :

(11)

(Евклидова норма) (12)

(Чебышевская норма) (13)

Для всякой нормы векторов можно ввести соответствующую норму матриц:

(14)

которая согласована с нормой векторов в том смысле, что

(15)

Можно показать, что для трёх приведённых выше случаев нормы матрицы задаются формулами:

(16)

(17)

(18)

Здесь - являются сингулярными числами матрицы , т.е. это положительные значения квадратных корней - матрицы (которая является положительно-определённой матрицей, при ).

Для вещественных симметричных матриц - где - собственные числа матрицы .

Абсолютная погрешность решения системы:

(19)

где - матрица системы, - матрица правых частей, оценивается нормой:

(20)

Относительная погрешность оценивается по формуле:

(21)

где .

4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений, которая плохо решается методами Гаусса. Перепишем систему уравнений в виде:

(22)

где - заданная числовая матрица -го порядка, - заданный постоянный вектор.

4.1 Метод простой итерации Якоби

Этот метод состоит в следующем: выбирается произвольный вектор (начальное приближение) и строится итерационная последовательность векторов по формуле: