Контрольная работа: Методы решения систем линейных уравнений

(30)

Беря это значение и из второго уравнения, находим , далее из третьего уравнения находим , . Эти три величины дают новое приближение и можно повторить цикл с начала, получаем: , , и т.д. Итерации продолжаются до выполнения неравенства .

Общий алгоритм метода Гаусса-Зейделя имеет вид:

Пусть

(31)

где у матрицы - все диагональные элементы отличны от нуля, т.е. (если , тогда переставляем строки так, чтобы добиться условия ). Если -ое уравнение системы (31) разделить на , а затем все неизвестные кроме - перенести в правую часть, то мы придём к эквивалентной системе вида:

(32)

где , ,

(33)

Метод Гаусса-Зейделя состоит в том, что итерации производятся по формуле:

(34)

где - номер итерации, а .

Замечание: для сходимости метода (34) достаточно выполнения хотя бы одного из условий:

а)

, (35)

б) - симметричная и положительно-определённая матрица.

5. Решение системы линейных уравнений методом Ритца

Если - симметричная и положительно-определённая матрица, то задача решения линейной системы уравнений:

(36)

эквивалентна задаче нахождения точки минимума функции многих переменных:

(37)

где скалярные произведения понимаются в смысле , т.е.

(38)

Иначе говоря, решение системы линейных уравнений (36) доставляет минимум функции многих переменных:

(39)

И наоборот, точка минимума функции (39) является решением системы линейных уравнений (36).

Таким образом, метод Ритца позволяет решение линейной системы уравнений с симметричной и положительно-определённой матрицей свести к задаче нахождения точки минимума функций многих переменных. А эту задачу мы уже умеем решать.

6. Решение системы линейных уравнений с трехдиаганальной матрицей методом прогонки Томаса

При решении задач конечно-разностными методами или методом конечных элементов, часто решение задачи сводится к решению линейной системы уравнений с трехдиаганальной матрицей коэффициентов, т.е. с матрицей, где все элементы нули, кроме трех диагоналей (в окрестности главной диагонали); рассмотрим систему с трехдиаганальной матрицей: