Контрольная работа: Методы решения систем линейных уравнений

Приведём теорему, дающую достаточное условие сходимости метода Якоби.

Теорема. Если , то система уравнений (22) имеет единственное решение и итерации (23) сходятся к решению.

Легко заметить, что эта теорема является простым обобщением теоремы о сжатых отображениях изученных нами раньше для одношагового итерационного процесса в общем виде. Все оценки, полученные ранее, переносятся и для системы уравнений, разница лишь в понятиях соответствующих норм. Обобщая метод простой итерации Якоби для случая системы уравнений:

(24)

Строим алгоритм решения:

а) переписываем уравнение (24) в однородном виде и умножаем на постоянную - которую далее найдём из условий сходимости итерационного процесса:

(25)

б) добавляем к обеим частям (25) и получаем:

(26)

в) строим итерационную формулу Якоби:

(27)

где постоянную находим из условий сходимости итерационного процесса (27), который в данном случае имеет вид:

(28)

где - вектор-функция из (26) или исходя из теоремы о сжатых отображениях , где - единичная матрица.

Рассмотрим числовой пример:

Пусть имеем систему уравнений:

Переписываем систему в виде:

Составляем итерационную формулу:

Коэффициент выбираем из условий: , т.е.

.

4.2 Метод Гаусса-Зейделя

Для решения линейной системы уравнений разработано множество итерационных методов. Тем более, что метод простой итерации Якоби сходится медленно. Одним из таких методов является метод Гаусса-Зейделя.

Для иллюстрации метода рассмотрим числовой пример:

(29)

Уравнения переписаны таким образом, что на главной диагонали стоят максимальные для каждого уравнения коэффициенты.