Контрольная работа: Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними

Дитина може зібрати в довільному порядку ті п'ять букв, які складають слово "КНИГА". Отримані буквосполучення відрізняються одне від іншого не самими елементами, а тільки їх порядком, тому число всіх наслідків експерименту обчислимо як число перестановок з п'яти елементів:

З усіх можливих наслідків експерименту тільки один сприяє появі шуканої події А. Ймовірність дорівнює:

.

Приклад 5.

Те ж завдання, але якщо було складене слово "РАКЕТА".

Розв’язок.

В – складене слово "РАКЕТА".

Загальне число наслідків експерименту обчислимо як число перестановок з 6 (в заданому слові 6 букв) елементів, тобто З усіх можливих наслідків експерименту два сприяють появі знову слова РАКЕТА, оскільки в цьому слові дві однакові букви А і через зміну їх місць слово не зміниться. Шукана ймовірність:

.

2 . Теореми додавання та множення ймовірностей

Сумою двох подій А і В є подія С, що відбувається у випадку появи хоча б однієї з подій А або В.

Сумою декількох подій є подія, що відбувається у випадку появи хоча б однієї з цих подій.

Добутком двох подій А і В є подія, що відбувається у разі спільної появи події А та події В.

Добутком декількох подій є подія, що відбувається у разі спільної появи усіх цих подій.

Теорема. Ймовірність появи суми двох несумісних подій дорівнює сумі появ ймовірностей цих подій

.

Наслідок. Ймовірність появи суми декількох попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

.

Теорема. Сума ймовірностей подій, , що створюють повну групу, дорівнює одиниці

.

Подія є протилежною до події А , якщо вона полягає в тому, що подія А не відбулася.

Теорема. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

.

Прийняті такі позначення , .

Теорема. Ймовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчислену в припущенні, що перша подія вже відбулася:

,

де – умовна ймовірність події А за умови, що подія В відбулася, – умовна ймовірність події В за умови, що подія А відбулася.

Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх інших, причому ймовірність кожної подальшої події обчислюються в припущенні, що всі попередні події вже відбулися:

.