Контрольная работа: Напрямки теорії ймовірностей та математичні дії над ними

Теорема. Ймовірність спільної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

.

Наслідок. Ймовірність спільної появи декількох подій, незалежних в сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з подій , незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :

.

Окремий випадок . Якщо події мають однакову ймовірність, яка дорівнює р , то ймовірність появи хоча б однієї з цих подій дорівнює:

.

Теорема. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх спільної появи:

.

Приклад 1.

Ймовірність влучення у ціль при одному пострілі з першої гармати дорівнює 0,7, другої – 0,8. Знайти ймовірність влучення у ціль при одному залпі з обох гармат.

Розв’язок.

Визначимо події: А – перша гармата влучила при одному пострілі, В – при одному пострілі влучила друга гармата. Події сумісні і незалежні, отже, подію С (влучення у ціль при залпі), можна розглядати як суму двох сумісних подій:. За теоремою додавання отримаємо:

.

Розглянемо другий спосіб розв’язку.

Ціль буде вражена, якщо відбудеться одна з трьох несумісних подій:

– влучила перша гармата і не влучила друга;

– не влучила перша гармата і влучила друга;

– влучили у ціль обидві гармати.

У цьому випадку, застосувавши теореми про ймовірності суми і добутку подій, отримаємо:

.

Найпростіший розв’язок задачі отримаємо, якщо всі три несумісні події , , об'єднаємо в одну, сказавши "у ціль буде влучено, якщо влучить хоча б одна гармата" (подія С).

Протилежна подія: – в ціль не попала жодна з гармат. За теоремою про ймовірність протилежних подій:

Приклад 2.

Студент прийшов на екзамен, знаючи 15 з 20 запитань програми. Знайти ймовірність того, що він знає відповіді на всі три запропоновані йому екзаменатором запитання.

Розв’язок.

Подія А (студент знає відповіді на всі три запитання) добутком трьох залежних подій: (знає відповідь на перше запитання), (знає відповідь на друге запитання) і (знає відповідь на третє запитання).

Обчислимо ймовірності цих подій:

.