Контрольная работа: Основные задачи вычислительной математики
Определение: предельной относительной погрешностью данного приближённого числа
называется всякое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:
(1.7)
Отсюда следует, что
(1.8)
т.е.
(1.9)
но, как известно:
(1.10)
Сопоставление формул (1.9) и (1.10) даёт соотношение между предельной абсолютной погрешностью и предельной относительной погрешностью
:
(1.11)
Из этой формулы иногда выражают и пишут:
(1.12)
Рассмотрим примеры:
Пример 3: Вес 1 дм3 воды при равен
г. Определить предельную относительную погрешность результата взвешивания.
Решение: очевидно, что предельная абсолютная погрешность г. и
, следовательно:
(1.13)
Пример 4: При определении газовой постоянной для воздуха, получили . Зная, что относительная погрешность этого значения
, найти пределы, в которых заключается R.
Решение: имеем: , тогда
, т.е.
(1.14)
Теперь займёмся изучением распространения погрешностей из-за арифметических действий.
б) Рассмотрим функцию , пусть значения переменных
, вычислены приближённо, где
соответствующие абсолютные погрешности.
Нас интересует абсолютная и относительная погрешности вычисленных значений функции .
По определению видно, что абсолютная погрешность функции имеет вид:
обычно , поэтому, раскладывая в ряд Тейлора, можно ограничиться лишь линейными членами по
. Получаем:
(1.15)
Отсюда получаем оценку:
(1.16)
Тогда для предельных абсолютных погрешностей имеем: