Контрольная работа: Основные задачи вычислительной математики
Разделив обе части (1.17) на 
, получаем предельную относительную погрешность при вычислении функции 
, в точке 
:
(1.18)
Или записывая более компактно:
(1.19)
Эту формулу можно переписать в виде:
(1.20)
в) Рассмотрим частные случаи:
1. Пусть 
. Изучим абсолютные и относительные погрешности суммы.
Решение: т.к.
(1.21)
то из (1.17) получаем
(1.22)
Также из (1.18) получаем:
(1.23)
2. Пусть, 
. Изучим абсолютные и относительные погрешности разности 
Решение: 
; 
, поэтому из (1.17) имеем
(1.24)
А из (1.18) получаем:
(1.25)
Ясно, что если 
и 
близкие друг к другу числа, то очень малое число, т.е. абсолютная погрешность разности будет очень большим числом. Поэтому при вычислениях, где это возможно, нужно избегать вычитания близких друг к другу чисел.
Например, если нам нужно вести вычисления по формуле: 
- объём между двумя сферами, где 
- очень малое число. Здесь лучше избавиться от вычитания и пользоваться аналогичной формулой 
, тем самым, обходя вычитание близких чисел, которое может быть больше относительной погрешности вычислений.
3. Изучим погрешности произведения чисел.
(1.26)
(1.27)
отсюда очевидно, что
(1.28)
(1.29)
Таким образом, при умножении приближённых чисел, относительные погрешности складываются.